例1  若函数 在闭区间 上为可导函数，证明：在区间 内，方程 至少存在一个根.
证明：构造辅助函数
 ，
     由条件 在闭区间 上可导，那么 在闭区间 上也可导，且在 上
     连续，
     而且
 .
     根据罗尔中值定理，则至少存在一个 ，使得 ，
     即有                 .
     故在区间 内，方程 至少存在一个根.
2.2 拉格朗日中值定理的应用
2.2.1 函数的极限问题
在面对一些较为复杂的函数极限问题的时候，拉格朗日中值定理为我们提供了一种非常简单而且有效的方法，那就是对所求极限的某些部分构造一个辅助函数，然后再使用中值定理，这样就可以求出所需要求解的极限.
例2  求极限 ，其中 为不等于零的常数.
     解：根据拉格朗日中值定理，
         令 ，其中 .
         当 时， ，
         故                       .
2.2.2 函数的单调性问题，以及利用函数的单调性去判断函数的极值、最值
对于函数的单调性问题，我们利用拉格朗日中值定理就能够非常快速的判断出函数的单调性.我们的依据就是以下这样一个定理：
定理4[1]   设 在区间I上可导，则 在I上递增（减）的充要条件是
 .
当然，在这类问题当中，我们可能会遇到函数的个别的点的导数不存在的情况，但是这并不会影响函数整体的单调性.
而关于函数一些特殊点的判断，如极值、最值的判断，这些就是对函数的单调性的一些应用.首先，找出所有使 的驻点，还有就是找出使 连续但是 不存在的点.然后，根据所有驻点和不可导点两侧的 的符号的变化情况，判断函数的单调性情况，并求出这些特殊点所对应的函数值.再与函数的图像相结合，最终确定函数的极值点、最值点这些特殊的点，并且可以求解出对应的极值、最值. 微分中值定理及其应用(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_38248.html