摘要 解的存在唯一性定理是常微分方程理论中最基本的定理.本文将文献[1]中关于解的存在唯一性定理的内容适当改变，并给出相应的证明.具体来说，我们在原证明的基础上做适当修改，如利用Gronwall不等式研究了唯一性.本文还应用存在唯一性定理和解的延拓解决了一类特殊问题.41867

毕业论文关键词： 解的存在唯一性定理  Gronwall不等式

Proof of the Existence and Uniqueness Theorem in Ordinary Differential Equation

Abstract

Existence and uniqueness theorem is one of the most basic theorems in ODE. In this paper, we give appropriate changes about the conditions of the well-known existence and uniqueness theorem in ODE, and give the corresponding proof. Precisely speaking, we give a different proof in some parts, for instance, we use the Gronwall inequality to verify the uniqueness. At last, we apply the theorem and its extension to solve one particular problem, and get some good results.

Key Words:  existence and uniqueness theorem  Gronwall’s inequality

 目  录

摘要-Ⅰ

AbstractⅡ

目录-Ⅲ

第一章 引言 -1

第二章 解的存在唯一性的证明及应用-2

2.1 预备知识-2

2.2 一阶解的存在唯一性定理-3

2.3 解的存在唯一性的证明4

2.4 解的存在唯一性的应用 9

第三章 解的存在唯一性定理的拓展延伸11

参考文献-12

致谢   -13

第一章 引言

微分方程的应用十分广泛，它与许多学科都有联系,例如力学、经济、生物、物理等学科中有些重要的现象都是用微分方程表述的[2,5].研究和解决这些问题，就需要研究方程和求解.常微分方程的主要目标之一就是求出通解.一旦通解求出，其他相关问题就可以得到解决.我们可以利用初等解法求出部分一阶微分方程的通解，但是研究表明[3]，能够求出通解的方程并不多，在实际中更多的是满足初值条件的解.微分方程初值问题解的存在唯一性定理.如果解不存在，研究通解就没有什么意义；如果有解，那么是否唯一呢？这些问题就显得十分重要.

解的存在唯一性定理能够很好的阐述上述问题，它明确的肯定了满足初值问题的微分方程在一定的条件下，解的存在与唯一性.本文对微分方程解的存在唯一性定理进行分析和探讨，在研究课本证明方法和思想的基础上，适当改变了定理的内容，并给出相应的证明.

解的存在唯一性定理的证明，主要分为三个部分：满足初值条件常微分方程的解等价于积分方程的连续解；解的存在性；解的唯一性.

第二章   解的存在唯一性定理

本章我们主要讨论了解的存在唯一性定理的证明以及应用.解的存在唯一性定理的证明，主要分为三个部分：满足初值条件常微分方程的解等价于积分方程的连续解；解的存在性；解的唯一性.在整个证明过程中，我们在解的存在性和解的唯一性的部分地方给出与课本不一样的证明，更有利于我们的学习.同时我们还给出了一个解的存在唯一性定理的应用.

2.1预备知识

    定义2.1 （函数列收敛）[4] 设函数列 和 定义在同一数集 上，对每一固定的 ，任给正数 ，存在正数 ，使得当 时，总有