定理1.2.8[7] 设 是一个正则图，那么 ，如果：

（a） 是偶数且 有一个Hamilton分解正交与一个线性森林；

（b） 是奇数且当 去掉一个 因子所得到的图有一个Hamilton分解正交与一个对集`751^文*论[文]网www.751com.cn ,同时有 是一个线性森林。

关于图的线性 荫度，得到以下命题：

定理1.2.9 如果 存在一个含有 个顶点 条边的子图H，那么

Habib和Peroche进一步提出了线性 荫度的概念。

图 的一个边分解是指将 分解成子图 ,使得 ， 且对于 ， . 一个线性 -森林是指每个分支都是长度最多为 的路的图. 图 的线性 -荫度 是使得 可以边分解为 个线性 -森林的最小整数 . 显然, 对于任意 ， .   是 的边色数 ;  表示每条分支路是无限长度时的情况，即通常所说的 的线性荫度 .

    猜想1.2.3[8]  对于有 个顶点的图 和一个正整数 , 

    定理1.2.10[9] 关于一棵树 ,如果 ；如果 ：

1996年，Jackson和Wormald证明了下面的结果：

    定理1.2.11[10] 若 为一个立方图且 ，那么 。