4. 对 于 某 些 特 殊 的 不 等 式 ,   可 以 采 用 形 似 法 , 即 做 出 与 不 等 式 两 边 类 似 的 辅 助函 数 F( x ) 论文网, 利 用 它 来 证 明 .

对 用 以 上 方 法 所 求 的 辅 助 函 数 F( x ) , 要 求 它 求 导 简 单 .  具 体 说 , 所 做 的 辅 助 函 数 F( x ) 的 分 母 应 该 不 含 对 数 函 数 或 反 三 角 函 数 .

二、 高等数学中不等式的证明方法 

   1、利用函数单调性证明不等式

利 用 单 调 性 来 证 明 不 等 式 是 高 等 数 学 中 一 种 最 常 用 的 方 法，其 适 应 范 围 很 广`751|文\论*文-网www.751com.cn。它 的 解 题 思路 是 将 所 要 证 明 的 不 等 式 作 某 些 必 要 或 适 当 的 变 形 之 后，选 取 适 当 的 函 数 F( x)  及 区 间［ a ，b］，再 利 用 导 数 确 定  函  数 F( x)  在 区 间［ a，b］内 的 单 调 性。如 果 当 一 阶 导 数 不 能 确 定 函 数 的 单调 性 时，则 利 用 高 阶 导 数 来 判 断 函 数 的 单 调 性，然 后 取 函 数 F( x)  在 区 间［a，b］端 点 处 的 函 数值，则 可 以 得 证 不 等 式。

  定理：设y=f(x)在［a、b］在连续，在（a、b）内可导。若在（a、b）内f’（x）>0(f’(x)<0),则f(x)在［a、b］上单调增加（减少）.

        例题1 当x>0时，证明arctanx+ > .

        证明 设F（x）=arctanx+ - ,   则F’(x)= - <0.

             所以，

                  F（x）在区间0，+ ）内是递增的，

             且，

                   F(x)=arctanx+ - >0, 即arctanx+ > .

        例题2 当x>0时，证明1+ > .

        证明 设f(x)=1+ , 

             则，

                 f’(x)= = ( ).

             由于，

                 F（x）在区间（0，+ ）上有F’(x)>0,             则，

                 F（x）在（0，+ ）上是单调递增的，             因此，

                 当x>0时，F（x）>F(0)=0.             即，

                 1+ > .原不等式成立.

         例题3  证明：对任意实数a和b，成立不等式                           ≤+

  证明：取f(x)= ，（x≥0）.f’(x)= >0 ,在［0, +∞］内f(x)↗↗.于是，由≤+，就有了f() ≤f(|a|+|b|),即