2．常数变易法的应用

2.1常数变易法和一阶线性微分方程

2.1.1预备知识

一阶线性微分方程 

 ,                      

其中 和  都是连续函数.

如果 ,把方程 叫做一阶非齐次线性微分方程.

如果 ,方程 变成

 ,                     

叫做一阶齐次线性微分方程.

对于方程 它是变量分离方程,通解为

 .                      

2.1.2用常数变易法解一阶非齐次线性微分方程 

显然 式不是 的解.

设方程 有形如

的解. 将 两边微分,得 

 ,

将它代入方程 得

  ,

即

 ,

则两边积分可得

 ,

其中 为任意常数.

代入 ,则方程 通解为 

     .

2.1.3例题演练

    例1 求方程 的通解.

    解  原方程变形为

  ,                    

方程 对应的齐次方程为

 .                    

将方程 分离变量得

 ,

它的通解为

 .

设方程 的解形如 .

将它代入方程 ,得

 .

则有    其中 是任意常数.

因此方程 的通解为

  ,

此解即为原方程的通解.

2.2  高阶微分方程和常数变易法