1.一元函数的连续、可微与可导

1.1一元函数连续、可微、可导的基本概念

    定义1  设函数 在点 的某空心邻域 内有定义， 为定数．若对任给的 ，有正数 ，当 时，有 ，则称函数 当 趋于 时以 为极限．

  该定义中 的取值与 的取值有关，对于函数极限我们要研究的是当 趋近于某一个值的过程中函数值变化情况．

    定义2  设函数 在点 的某邻域上有定义，若有 ，则称函数 在 点连续．

    如果函数 在区间 上的每一点处都连续，我们就称函数 是区间 上的连续函数，其中在 点指的是左连续，在 点指的是右连续.

    函数在区间的每一点上都连续确定了函数在该区间上的连续性，而函数的一致连续性则反映了函数在区间上更强的连续性．

    定义3  设 是定义在区间 上的函数．如果对任意的 ，存在 ，使得对任何 ， 属于,源^自#751^文/论`文]网[www.751com.cn ，只要 ,就有 ，则称函数 在区间 上一致连续．

  函数在某个区间上连续属于函数的局部性质，而函数在区间上的一致连续属于函数的一个整体性质，由函数的一致连续可以推出函数的连续这一局部性质，但反之则不一定成立.

    例1  证明函数 在 上不一致连续（尽管它在 上每一点都连续）.

    证明  根据一致连续性的定义，要证明 在 上不一致连续，只需证得：

存在某点 ，对任何正数 （不论 多么小），总存在两点 ， 属于该区间，尽管 ,但有 ，

因此取 ，对无论多么小的正数 ,只要取 与 ,则虽然 ,但 ,所以函数 在 上不一致连续．

    定理1  如果函数 在闭区间 上连续，则 在 上一致连续．

    定义4  设函数 在点 的某个邻域内有定义，若存在极限  ，则称函数 在点 处可导，并把该极限称作函数 在点 处的导数．

  由此我们知道导数其实就是函数增量与自变量增量比值的极限．如果函数 在区间 上每一点都可导，则称 为 上的可导函数．对 上每一点 所对应的 所确定的函数，我们称其为 在 上的导函数，简称为导数．

    定义5[1]  设函数 定义在点 的某邻域 上，当给 一个增量 ， 时，相应得到函数的增量为 ．如果存在常数 ，使得 能表示成 ,则称函数 在点 可微．其中 为 在点 的微分．

    由此我们可以看出，函数的微分与增量 之间仅相差一个关于 的高阶无穷小量，且容易看出 在点 可导和可微是等价的．因此我们可以得到函数在一点可微的一个充分必要条件是函数在该点可导，且具有一阶微分形式的不变性．

1.2一元函数中可导、连续、可微的关系

    若函数 在某一点可导，则 在该点连续.设函数 在点 处可导，则由可导的定义有： 存在，再根据具有极限的函数和无穷小的关系可以得到 ．变形可得 ,所以当 时， ，有 在点 处连续．