1.级数的求和方法

对于级数求和的方法,本文根据不同类型的级数进行分类整理,分为数项级数和函数项级数两大类,因为数项级数比函数项级数容易理解,所以先从介绍数项级数的相关知识开始.

1.1数项级数

1.1.1数项级数的概念

给出一个数列 ,对它的每一项项依次用“+”号连接起来的表达式

 ,

称为数项级数,这里的 就是它的通项.数项级数也常记为 或写成 .

    数项级数的前 项和,记

 ,

称它为数项级数的前 项和,也称作部分和.

    如果数项级数的部分和数列 收敛于 ,那么数项级数是收敛的, 记为数项级数的和,记为

 若 是发散数列,则数项级数是发散的.

1.1.2数项级数的收敛性及证明方法

   对于数项级数的求和,首先判断数项级数的收敛性,对于收敛的级数,级数的和等于其部分和数列收敛的值,接下来就给出判断数项级数的一般方法.

方法一:定理1 (比较判别法)有两个正项级数 ,源^自,751"文'论.文]网[www.751com.cn与 ,且 .都有

 则1）如果级数 收敛,那么级数 收敛;

2）如果级数 发散,那么级数 发散.

 (比较判别法的极限形式):有两个正项级数 与 （ ）,且  ,则

    1）当 时, , 同时收敛或发散;

2）当 时,级数 收敛时,级数 也收敛;

3）当 且级数 发散时,级数 也发散.

方法二:定理2 (柯西判别法)设 为正项级数,且存在某正数 及正常数 ,

1） 有 (常数） ,则级数 收敛;

2）若存在无数个 ,有 ,则级数 发散.

(柯西判别法的极限形式):设 为正项级数,且

 ,则1)当 时,级数 收敛;

2)当 时,级数 发散.

方法三:定理3 (达朗贝尔判别法[1} )有正项级数 .且存在某正整数 及常数  ,

1）若 有

则级数 收敛( 为常数).