性质1  设 为幂等矩阵，则

(1) 和 都是幂等矩阵；

(2) 的特征值只能是 或 ，且特征值 的重数为 的秩；

(3) .

定义2  设 ，若满足 ,则 称为对合矩阵，对合矩阵也是立方幂等矩阵.

性质2  设 为对合矩阵，则

(1) 是对合矩阵；

(2) ；

(3) 的特征值以及行列式都为 或 .

下面我们给出幂等变换，线性变换的核、值域、以及不变子空间的定义.

定义3  设 是线性空间 的一个线性变换，若满足 ，则 称为幂等变换 .

定义4  设 是线性空间 的一个线性变换， 的全体像组成的集合 称为的值域(本文用 表示)，所有被 变成零向量的向量组成的集合 称为 的核(本文用 表示).

定义5  设 是线性空间 的一个线性变换， 是 的子空间，如果 中的向量在 下的像仍在 中，换句话说，对于 中任一向量 ，有 ，我们就称 是 的不变子空间，简称 子空间.

3 主要结论

引理1  设  ， ，且满足 ， ，则

(1) 若 ,则 为幂等矩阵；

(2) 为幂等矩阵的充分必要条件为 ；

(3) 为幂等矩阵的充分必要条件为 .

对此结论，将其适当推广到立方幂等矩阵上，得到如下推论：

推论1 设 ， ， 可逆，且 ，则

(1) 若 ,则 为立方幂等矩阵；

(2) 为立方幂等矩阵的充分条件为 ；

(3) 若 ,则 为立方幂等矩阵的必要条件为 .

证  (1)因为 ,故有 ，

即 为立方幂等矩阵.

(2)因为 ，则 ，

即 为立方幂等矩阵. 的情况类似可得.

(3)因为 为立方幂等矩阵，且 ,则 ，

即有 ，从而 ，

对上式右乘以 ，得 ，即有 .

又因为 可逆，则 ,源!自%751>文)论(文]网[www.751com.cn， ，故可得 . 的情况类似可得.

同样地，也可以得到“两个可交换的 幂等矩阵 的积也为 幂等矩阵”这一结论.

根据上述引理及推论，可以知道幂等矩阵和、差、积的幂等性，立方幂等性，对此我们考虑幂等矩阵其他线性组合的幂等性，可得到如下推论：

推论2 设 ， ，且 ， ，若 ，则 为幂等矩阵.