摘要：导数是微积分中的一个重要概念，在数学的许多领域中都有着广泛的应用．本文主要讨论导数在研究函数的单调性与极值、凹凸性与拐点以及证明不等式等问题中的一些应用．

毕业论文关键词：导数，单调性，极值，凹凸性，不等式

Abstract: Derivative is an important concept in calculus, and it has been widely applied in many fields of mathematics．In this paper, we mainly discuss the application of derivative in the extreme and monotony, convexity and inflection as well as proof of inequality． 52190

Keywords: Derivative, monotonic, extreme, convexity, inequality

 目   录

0  引言4

1  利用导数研究函数的单调性4

2  利用导数求函数的极值和最值4

2.1　利用导数求函数的极值4

2.2　利用导数求函数的最值7

3  利用导数研究函数的凹凸性与拐点 8

4  利用导数求函数极限 10

5  利用导数证明不等式11

6  利用导数的几何意义解决一些实际问题 13

结论15

参考文献 16

致谢17

 ０ 引言

导数是微积分中的一个重要概念，它作为一种解题工具，为处理数学、物理以及其他学科的问题提供了新的途径．本文主要讨论导数在研究函数的单调性与极值、凹凸性与拐点以及证明不等式等问题中的一些应用．

1　利用导数研究函数的单调性

定理1 　设函数 在区间 上可导，则函数 在 上递增（减）的充要条件是

定理2 　设函数 在区间 上可导，则 在区间 上严格递增（递减）的充要条件是：

（1）对一切 ，有  ；  源^自·751·文.论,文'网]www.751com.cn

（2）在区间 内的任何子区间上 ．

推论1   设函数 在区间 上可导，若在区间 上  ，则 在 上严格递增（严格递减）．

注 若函数 在 内严格递增（严格递减），且在点 右连续，则 在 上亦严格递增（严格递减），对于右端点 亦如此．

由上面的定理可见，可以利用导数的符号来判定函数的单调性．

例1 求 的单调区间．

分析 由于因此 在 上严格递减， 在 上严格递增．

2　利用导数求函数的极值和最值

2.1 利用导数求函数的极值

定义1  设函数 在点 的某邻域 内有定义，若对一切 有

则称函数 在点 取得极大（小）值，称点 为 的极大（小）值点．极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称极值点．