数论问题在中学数学竞赛中应用(3)

研究内容

初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。

本文将对近几年各类中学生数学竞赛中有关初等数论的试题包括初等数论分支的经典例题进行研究性学习，就整除理论、不定方程以及同余理论这三部分内容给出一个详尽的逻辑联系。笔者首先对它们的基本概念和性质做一个简洁的陈述，而后分析它们出现的大致形式，根据运用初等数论知识得到的解题方法，结合中学生所具备的知识储备和思维水平，就具体实例重点给出在中学数学竞赛中最合适的解题方案。并借此分析理论，可作为竞赛辅导老师在数论方面的辅导依据。因此，本文的研究也具有一定的现实意义。

整除理论

整除理论是数论中的基本概念，其成果包括带余数除法、辗转相除法、最大公约数、最小公倍数、算术基本定理等。这一理论相对较为简单，却能巧解繁琐的数学竞赛题目。

整除的基本定义和定理

定义2.1.1（整除）：设有两个整数 a,b(b≠0)，若有另一整数 q，使得 a=b×q，则称 a 被 b整除，并记作 b|a┤。若 a 不能被 b 整除，则记作 b∤a。

定义2.1.2（带余除法）：也被称为欧几里德基本定理，即对于整数 a,b(b≠0)，存在唯一的一对整数 q,r(0≤r≤|b|-1)，使 a=qb+r，其中r称为 a 除以 b 所得的余数。

定义2.1.3（Euclid辗转相除法）

设 a,b 是两个任意整数，由带余除法，知

a=bq_1+r_1 (0<r_1<b),

b=r_1 q_2+r_2 (0<r_2<r_1 ),

⋯⋯

r_(n-2)=r_(n-1) q_n+r_n (0<r_n<r_(n-1) ),

r_(n-1)=r_n q_(n+1)+r_(n+1) (r_(n+1)=0),

于是 r_n=(a,b).

定理2.1.1（算术基本定理）：任何一个正整数 N>1，都能分解成质因数的连乘积，即

N=〖p_1〗^(α_1 ) 〖p_2〗^(α_2 )…〖p_n〗^(α_n )

其中 p_1,p_2,…,p_n 互为不相等的质数，α_1,α_2,…,α_n 为正整数；如果不考虑因数的顺序，这个分解式是唯一的。

由算术基本定理可以得到下列两个性质：

约数个数定理：N 的正约数（因数）的个数为(α_1+1)(α_2+1)···(α_n+1). 其中包括 1 和 N 这两个约数。

约数之和定理：若用 S(N)表示自然数N的全部约数之和，则有

S(N)=(〖p_1〗^(α_1 )-1)/(p_1-1)·(〖p_2〗^(α_2 )-1)/(p_2-1)· ··· ·(〖p_n〗^(α_n )-1)/(p_n-1)

=(1+p_1+〖p_1〗^2+···+〖p_1〗^(α_1 ) )(1+p_2+〖p_2〗^2+···+〖p_2〗^(α_2 ) )···(1+p_n+〖p_n〗^2+···+〖p_n〗^(α_n ) ) .

整除的性质：（1）若 b|a┤，则 b|(-a)┤，且对任意的非零整数 m，有 b^m |a^m .┤

（2）若 a|b┤,b|a┤，则 |a|=|b| .

（3）若 a|b┤,b|c┤，则 a|c┤ .

（4）若 a|b┤,b|c┤，则 a|(b±c)┤，且对任意整数 m,n，有 a|(mb±nc)┤.

（6）n 个连续整数中，必有一个能被 n 整除 .

整除理论在中学数学竞赛中的应用

整除性质的运用源'自-751;文,论`文'网]www.751com.cn

整除的基本性质较多，重在理解、掌握，这样才能恰如其分地运用。对于题干中问题较明确的，需要灵活搜索并运用整除的基本性质来求解。当然，对于题意中未提到“整除”的，我们要善于分析，究其本质，将问题归结到运用整数的基本定理。数论问题在中学数学竞赛中应用(3):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_56236.html