设函数  ，因为

 ，则 在定义域内为单调递减.然而 ，则当 时， ，因而 ，所以

即从而证得 .

注1  辅助函数构造方法：将题目中需要证明的结论中的 换成 ；将题目变成易积分形式；求出原函数，计算过程中可以令常数为零；④将不等号化为等号后将等号两端移到同一端，则非零端为所求辅助函数.

2.2  应用柯西中值定理证明不等式

    应用该定理证明不等式需要用到的知识有：

    定理2 （柯西中值定理） 设函数 和 满足

    （ⅰ）在 上都连续；

    （ⅱ）在 内都可导；

    （ⅲ） 和 不同时为零；

    （ⅳ） ，

则存在 ，使得

此类证明步骤如下：构造辅助函数 、 和所需要的区间 ；取 ， ，根据上述定理有

 ， ，

由 、 在 上的单调性，把 、 作恰当变化来证明不等式.

例2  当 时，证明不等式

 .

    分析  令 ， ， 和 在定义域上满足柯西中值定理的条件，故可以运用该定理证明.

证明  令 ， ，从而原题可以转换为                         .