1）若 可逆，则 ；

2）若 可逆，则 .

定理4   设 是一个四分块 阶方阵，其中 为 矩阵， 为 阶矩阵， 为 阶方阵， 为 矩阵，则有

1)若 可逆，则 ；源'自:751]'[论.文'网"]www.751com.cn

2)若 可逆，则 .

利用上述定理，在某些情况下计算行列式会很方便.

例1  计算行列式 ，其中 .

解   是一个 阶行列式，先对矩阵 进行如下分块.令

从而因为 ，

所以当 时，C可逆，且

由定理4可得

3.2  利用分块矩阵求解线性方程组

设 个未知数 个方程的线性方程组为

设 ， (其中 表示矩阵的转置）， 

则方程（1）的矩阵形式为 .

把方程组（1）的矩阵形式改写成如下分块矩阵的形式

 ，

方程组（1）有解时，我们解方程组（1）时总是把（1）化成形式简单的同解方程组，从而求出其解.

定理5   设方程组（1）有解且 ， ，则方程组 与 同解.

定理6   设方程组（1） ，则方程组（1）的一般解为

 ，

其中 分别取 记 为 阶单位阵.

运用线性方程组的增广矩阵与系数矩阵等相关概念，并结合矩阵的分块进行求解，可简化计算.