摘要：泰勒公式是数学分析的重要内容，也是数学分析的难点内容，但书本上关于泰勒公式的应用比较少，下面我将从根的存在性、级数的敛散性、定积分的证明、求极限等方面对泰勒公式的应用进行探究.

毕业论文关键字：泰勒公式,根的存在性,级数的敛散性,定积分,极限53510

Abstract：Taylor formula is the important and difficult content of Mathematical.Taylor formula, which has been widely used in teaching research,is rarely found in textbooks. I will do my study on Taylor formula application in the following aspects,the existence theorem for roots, the series of pergence, proof of definite integral, calculating limt, etc. 

Key words: taylor formula, root existence , the convergence, definite integral, limit

目  录

1 引言4

2 准备工作4

3 泰勒公式的应用5

3.1 泰勒公式在证明根的存在性与唯一性方面的应用5

3.1.1利用泰勒公式证明根的存在性5

3.1.2利用泰勒公式证明根的唯一性6

3.2泰勒公式在判断级数敛散性中的应用7

3.3泰勒公式在定积分中的应用9

3.4泰勒公式在求极限中的应用12

结束语15

参考文献16

致 谢17

1  引言

泰勒公式在数学研究中有着极为广泛的应用，通常与微分中值定理一起编入求导应用的部分，它不仅仅可以用于求极限、近似计算、不等式证明、判断级数的收敛,而且还可以简化计算过程，具有化繁为简的效果，增加计算技巧，同时由于泰勒公式形式简单，在数学证明、物理和计算机的实际问题中都有着广泛的应用，是解答与证明相关题目的有力工具.

2  准备工作

泰勒公式又称泰勒中值定理，泰勒公式的引入是为了将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式涵数，我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数 在点 可导，则有 ,即在点 附近，如果用一次多项式 逼近函数 时，其误差为 的高阶无穷小量，逼近次数越高，其误差越小，误差为 ，其中 为多项式的次数.针对误差为 的情景，可以得到以下关于泰勒公式两种不同形式的定义，分别从定性和定量两种情况进行探讨归纳.

定义1  若函数 在 存在直到 阶导数,则有源'自:751]'[论.文'网"]www.751com.cn

       (1)

这里 为佩亚诺型余项,称(1)为 在点 的泰勒公式.

当 时,(1)式变成 ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.

在泰勒公式的各种形式中，带皮亚诺型余项泰勒公式，是所需条件较少、形式较简单的一种泰勒公式，同时它也是在处理一些定性问题时比较简便的一种形式.

定义1是从微分近似出发，推广得到用 次多项式逼近函数的泰勒公式，它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：当 时，逼近误差是较 高阶的无穷小量.现在将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于用泰勒公式对公式展开时对逼近误差进行具体的计算或估计，由此我们引出定义2.

定义2  若函数 在 某邻域内为存在直到 阶的连续导数，则         (2)

这里 为拉格朗日余项 ,其中 在 与 之间,称（2）为 在 的泰勒公式.当 =0时,（2）式变成

称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.

3  泰勒公式的应用

泰勒公式在数学解题中发挥着重要的简化性作用，以下分别从不同的方面进行举例并进行说明.

3.1  泰勒公式在证明根的存在性与唯一性方面的应用

3.1.1  利用泰勒公式证明根的存在性 浅谈泰勒公式在数学解题中的应用:http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_57640.html