例1 设 在 上连续,并在 内可微,且满足  .若 是任意自然数,证明存在一点 ,使得 .

证明 令函数

 ,由 ,

且 满足罗尔中值定理的条件,从而存在一点 ,使得

即整理后得 ,

于是结论得证.

例2 设函数 在 上可导,且 , .证明:在 上存在两点 , ,使 .

证明 由于 在 上连续,且 , ,于是由介值定理可知在 内存在 使 ,又因为 在 内可导,故对 在 与 上分别应用拉格朗日定理得