摘 要：本文研究了行列式函数取极值的条件，给出了相关的判定方法，并通过实例说明了它们的应用．

毕业论文关键词：函数，极值，行列式，导数54326

Abstract:In this paper we studied the extreme values of conditions about the determinant. prive the related of the method to determine,and illustrates their application by examples.

Keywords:function extreme value,determinant,derivative

 目  录

1 引言 4

2 用行列式判断多元函数极值 4

2.1定理1 4

2.2定理2 6

3 用导数求行列式的极值 8

3.1 行列式的求导法则 8

3.2 导数在解行列式问题上的应用举例． 8

结  论 10

参考文献 11

致  谢 12

1 引言

函数的极值不仅是函数的重要特征，而且在实际中也有重要的应用．函数极值一直是数学研究的重要内容之一，在现实生活中存在着许多和极值有关的问题，由于函数极值的广泛，加之函数本身变化纷繁，所以人们对求函数极值的方法研究的较多．

多元函数极值的概念：设函数 在点 的某邻域 内有定义，若对于任何点 ，成立不等式

   （或 ）,

则称函数 在点 取得极大（或极小）值，点 称为 的极大（或极小）值点．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．极大值点，极小值点统称为极值点．

本文将重点介绍用行列式解决函数极值的方法．

2 用行列式判断多元函数极值

2.1 定理1

若函数 在点 的邻域内有定义，且有一阶及二阶连续偏导数，则当      ，且

 ，        ．时，函数 取得极小值．当

，         ．时，函数 取得极大值．

证明 由泰勒公式，并且注意到在 ，有  

由于 的一切二阶偏导数在 连续，记

于是当二次型

 = ．不为 时，注意到 时， 都是无穷小量，所以存在点 的一个邻域，使得在这个邻域内， 的符号与 的符号相同，而当 时， 的符号便取决于

 ．的符号了．对于二次型：  = ． 

它的判别式：  = ，当 >0时 >0， >0，也就是说当 为正定二次型时，引入点 与 之间的距离 ．从（1）式的括号内提出 ，并令 , ,  ．改写 的表达式为：

易见 的数值并不同时等于0，若  为正定的则在（2）式的前一括号和式恒为正号，进一步说，因为 ,所以必能找到这样的常数 ，使对有的一切 可能的一切数值，总有

   ．          （3）

实际上这一和式是变元 在全空间的连续函数，特别在满足关系（3）式的点 的集合 中的也是连续函数，所以这一和式在上述集合 中有最小值它必然是正的，因为这一和式在 中的一切数值都是正的，另一方面，（2）式中的后一括号内的和式当 充分小时，显然在绝对值上可小于 ，于是全括号内的值是正的．因此，在点 充分小的领域内 必取正值，由此可见，在所说的 处函数 有极小值．同理当 为负定时，函数有最大值．

2. 2  定理2源'自:751`!论~文'网www.751com.cn

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