（1）若对一切 ,成立不等式 ,则级数 收敛；

   （2）若对一切 ,成立不等式 ,则级数 发散.

    定理3.1 （定理3极限形式）设 为正项级数,且 ,则

   （1）当 时,级数 收敛；

   （2）当 时,级数 发散.

    定理4 （ 判别法）若 为单调有界数列,且级数 收敛,则级数 收敛. 

    定理5 （ 判别法）若数列 单调递减,且 ,又级数 的部分和数列有界,则级数 收敛.

    定理6 （积分判别法）设 为 上非负减函数,那么正项级数 与反常积分 同时收敛或同时发散.

3  函数项级数定义及其一致收敛性判别法

3.1  函数项级数及其一致收敛性定义

    定义3  设 是定义在数集 上的一个函数列,表达式

                                       (2)

称为定义在 上的函数项级数,简记为  或  .称

             ,                          (3)  

为函数项级数（2）的部分函数列.

    定义4  设 是函数项级数 的部分和函数列,函数列 和函数 都是定义在同一数集 上,若对任给的正数 ,总存在某一正整数 ,使得当 时,对一切 ,都有  .则称函数项级数 在 上一致收敛于函数 ,或称 在 上一致收敛.源'自:751`!论~文'网www.751com.cn

3.2  函数项级数一致收敛性的判别法

    定理7 （一致收敛的柯西准则）函数项级数 在数集 上一致收敛的充要条件为:对任意的正数 ,总存在某正整数 ,使得当 时,对一切 和一切正整数 ,都有   或  .

    定理8 （ 判别法）设函数项级数 定义在数集 上, 为收敛的正项级数,若对一切 ,有 ,  ,则函数项级数 在 上一致收敛.                                        

   证明  由假设正项级数 收敛,根据数项级数的柯西准则,对任意的正数 ,总存在某正整数 ,使得当 时,对一切 和一切正整数 ,都有

又由于 , , 对一切 有     .

根据函数项级数一致收敛的柯西准则,级数 在 上一致收敛.

    例1  判断函数项级数 在区间 上的一致收敛性.

    分析   判别法是我们在判断函数项级数一致收敛性时最常用且最简单的方法,而运用 判别法关键就是要找出优级数 并且运用级数收敛性的判别法来判断它的收敛性.对于 ,可以找到优级数 ,并判断它收敛,从而可以判断出函数项级数 在区间 上的一致收敛.

    证明  因为对一切 有 ,而正项级数 是收敛的.所以由 判别法知函数项级数 在区间 上的一致收敛的.

    定理9 （比式判别法）设 为定义在数集 上正函数项级数,记 ,若 ,且 在 上一致有界,则函数项级数 在 上一致收敛.

证明  由 ,则存在正整数 ,使得当 时,有 .

又因为 在 上一致有界,则对任意正整数 和 ,设在正数