事实上   首先证明 是一个一一映射.一方面，任设 ，记 为矩阵 的第 列列向量，取线性变换 ，使得

  ,                      (3)

于是有 ，即 是一个满射.另一方面，设 ，由于 是一个满射，则一定存在 （取法同（3）式），使得 .若 ，则显然有 ，即 是一个单射.

     任设 且 ， ,则由

及 可得 及 .从而根据定义4可知 与 同构.

2 可交换线性变换的性质