定理2  设函数 在区间 上具有二阶导数，则在 上 下凸（上凸）函数的充要条件是

             .

    定义2  若函数 在点 的左右邻域上凹凸性相反，则点 叫做曲线的拐点.

    例2  求函数 的凹凸区间及拐点.

    分析  熟悉函数的凹凸性判断定义及其定理，能正确应用其定理来解决简单的函数问题.

    解  因  ，令 ，得 .所以

当 时， ，又当 时， ；当 时， .

所以 的上凸区间为 ，下凸区间为 ，它的拐点为 .

    若函数在某点二阶导数为零，在其两侧二阶导数不变号，则函数的凹凸性不变；求函数的凹凸性，首先求函数的二阶导数，判断二阶导数是大于零还是小于零来判断函数的凹凸区间.

2.1.3  函数的极值和最值 

（1）用导数求函数的极值

    定义3  设函数 在点 及其某邻域左右两侧附近有定义，若对该邻域内的任意点 （ )恒有 ，则 为极大值；若 成立，则 为极小值.