摘要：矩阵对角化在矩阵研究中占据着重要地位.本文主要讲述了矩阵对角化的定义以及一些判别方法，并在此基础上对矩阵对角化的一系列应用进行了探究与说明.

毕业论文关键词：矩阵的对角化，判断，应用56246

Abstracts: Matrix diagonalization occupies the important status in the study of matrix, this article mainly tells the story of the definition of matrix diagonalization and some discriminant method, and on the basis of these to explore and explain a series of application.

Keywords: matrix diagonalization, discriminant, application 

目录

1  前言4     

2  矩阵可对角化的定义4

3  矩阵可对角化的判别方法4

3.1  常规判别法4

3.2  初等变换法5

3.3  简单判别法6

4  可对角化矩阵的应用7

4.1  利用矩阵的对角化求行列式7

4.2  利用矩阵的对角化判断矩阵是否相似7

4.3  利用矩阵的对角化求高次幂矩阵8

4.4  利用矩阵的对角化求解数列通项9

结论10

参考文献11

致谢12

1  前言

 在数学研究中，矩阵占着重要的地位.对于矩阵而言，特征值和特征向量是其中的重点，而矩阵的对角化则很好地对二者进行了补充，并且对矩阵的研究有着不可忽视的意义.本文主要讨论几种矩阵可对角化的判别方法以及矩阵对角化的一些应用, 体现矩阵对角化对矩阵研究以及数学研究的重要意义.

2  矩阵可对角化的定义源'自:751-'论/文'网"www.751com.cn

    设 表示 实矩阵的集合， 表示 阶单位矩阵.

    定义   设 , 若存在一个相似变换矩阵 , 使 为对角矩阵, 则称矩阵 可对角化.

3  矩阵可对角化的判别方法

3.1  常规判别法

    利用矩阵的特征值来判断矩阵是否可对角化，这是一种较为基础的、简单的方法，我们就借用图表来进行总结概括.

 例   设矩阵 ，判断 是否可对角化，若可以则求可逆矩阵 使得 为对角矩阵.

 解   ，可得 ， ， .因为没有重特征值，因此矩阵 可对角化.当 时，其对应的特征向量是 ； 时，对应的特征向量为 ； 时对应的特征向量为 ，则 ， 是对角矩阵.

3.2  初等变换法

    引理  ：  阶矩阵 可逆当且仅当 可以写成初等矩阵的乘积.

    引理  :  对一个 矩阵 作一初等行变换就相当于在 的左边乘上相应的 的初等矩阵；对 作一初等列变换就相当于在  的右边乘上相应的  初等矩阵.

    引理  ： 相似的矩阵有相同的特征多项式.

定理  ： 若矩阵 可对角化，则 可以经过一系列相似的初等变换来得到对角矩阵 ，并且矩阵 的对角线上面的元素是矩阵 的特征根.

根据以上定理，我们可以得出用初等变换法来判断矩阵是否可对角化的方法，那就是把矩阵 进行合同变换得到矩阵 ，若 且 对角线上的元素是矩阵 的特征值时，则矩阵 可对角化.