又因为 ，

          所以 ，

          即 ， 得证.

例2  证明： ，其中 . 

    分析  本题要运用 中值定理，则必须构造出一个满足条件的函数关系式，而 正好满足 中值定理的两个条件，并且 的导数正好与所要证明的不等式相似，所以可按照这个思路往下证明.

    证明  构造函数 ，则 满足 中值定理，

          故存在 使得  ， 

          又 ， 取 ，

　        则有 ，

          由于 ，可知 ， ，

          故 ， 

          又 ， ，

          即 得证.

    注 由上述例题可知，部分特殊的不等式可用 中值定理来证明.证明不等式的关键步骤如下：

（1） 分析不等式的具体特征，构造出相应的辅助函数 ， ；

（2） 判断函数 在 上是否满足 中值定理的两个条件；若满足，则可得出： ；

（3） 根据不等式的特点，再利用 与 的性质，对上式进行适当的变形，从而使不等式得到证明.

2.2 利用柯西中值定理证明不等式

    定理2[1]   （柯西（ ）中值定理） 设函数 和 满足

    (i)在 上都连续；

    (ii)在 内都可导；

    (iii) 和 不同时为零；

    (iv) ， 

    则存在 ，使得                        .

    例3[2]  已知 ，证明： .

    分析  本题涉及两类函数，分别是 和 ，并且两函数都满足 中值定理的条件，所以可用 中值定理来证明.