摘  要：矩阵是高等数学中一个重要的基本概念.本文主要归纳总结正定矩阵的定义、判定定理及其应用.

毕业论文关 键 词：正定二次型，正定矩阵,实对称矩阵64300

Abstract：Matrix is an important basic concepts in higher mathematics. In this paper, we mainly introduced some properties of positive definite matrices and their applications.

Keywords：positive definite quadratic form ，positive definite matrix，real symmetric matrix

1 引言 …4

2 基本概念…4

3 主要结果…4

4 正定矩阵判定的应用7

结论13

参考文献 14

1引言 

正定矩阵的判定是高等代数中的一个重要知识点，所以正定矩阵的判定问题在矩阵问题占据着重要地位，关于正定矩阵判定的研究也就势在必行.为了开阔思路，更好的理解和掌握判定矩阵正定的方法，本文将关于正定矩阵判定的几种方法进行分析、归纳和总结，得到一些值得借鉴的适用于正定矩阵的判定方法.

2 基本概念

定义1[1] 实二次型 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数 都有 .

定义2[2] 若实数域上的一个 元二次型 ， 论文网

是正定二次型，其中 ， ，则称 为正定矩阵.

    注 因为二次型的矩阵为对称矩阵，所以本文讨论的矩阵均为实对称矩阵.

定义3[2] 数域 上 矩阵 ， 称为合同的，如果有数域 上可逆的 矩阵 ，使 .

定义4[6] 设 ， 为 阶矩阵，有 阶非奇异矩阵 存在，使得 成立，则称矩阵 与矩阵 相似，记为 .

3 主要结果

    定理1[1] 实二次型 是正定的充分必要条件为矩阵 的顺序主子式全大于零. 

    定理2  设 为 阶实对称矩阵，则以下条件等价

（1） 为正定矩阵；

（2） ， ，当且仅当 时等式成立；

（3）任意 ， ，有 ；

（4）任意 阶可逆阵 ， 正定；

（5）矩阵 的主子式大于零.

定理3 若矩阵 正定，则 的主对角线上元素均大于零.

证明 因为矩阵 正定，由定理2（5）知矩阵 的主子式均大于零.而矩阵 的主对角线上元素为矩阵 的一阶主子式，所以矩阵 的主对角线上元素均大于零.

定理4 矩阵 是正定矩阵当且仅当矩阵 可以通过使用向下行倍加变换化为上三角矩阵，且主角线上的元素全为正数.

证明 假设矩阵 为正定矩阵，令 ，由于矩阵 为正定矩阵，所以 .源[自[751``论`文]网·www.751com.cn/

当 时，设 ，则 可以经过初等变换得到 ，由于 为正定矩阵，所以

从而 .假设结论对 阶正定矩阵成立，则当矩阵 为 阶正定矩阵时，

从而由于结论对 成立，所以 ，因此 .故 可以通过使用向下行倍加变换化为上三角矩阵，且主对角线上的元素全为正数.

反之，若 可以仅通过向下行倍加初等变换化为等价的上三角形矩阵 ，令 ，且 ，设 ， 分别为 ， 的顺序主子式，显然向下行倍加变换不改变矩阵 的任何顺序主子式的值，那么有 成立.因为 ，所以 ，从而矩阵 为正定矩阵.

定理5  合同于 阶单位矩阵 ，则 为正定矩阵.

证明 若 合同于 ，则存在可逆矩阵 ，使得