由引理1我们可以直接得出下面的定理.  来.自/751论|文-网www.751com.cn/

    定理   数域 上 阶矩阵 可对角化的充要条件是：

1) 矩阵 的每一个特征根都在数域 上；

2) 对 的任一个特征根 ,均有 ,其中 的重数.

    条件（2）等价于 的每一个特征值 的重数等于其所对应的特征向量的个数.

    条件（2）等价于 的每个特征根的重数之和是 ,也就是说属于 的不同特征值的特征向量的总数是 .

例1 设

判断 是否可以对角化？

解   的特征多项式为

则 的特征值为 、 .

对特征值 ,解方程 ,得

                             ,

它的基础解系为

                            .

对特征值 ,解方程 ,得

 ,

它的基础解系为

                                 .

    因此特征值 有两个线性无关的特征向量, 特征值 有一个特征向量.依据定理2知,矩阵 可对角化.

    定理   数域 上 阶矩阵 可对角化的充要条件是 的最小多项式无重根.         

    证明  必要性  因为 可对角化,则有可逆矩阵 使