性质3[3]（可导性）　设函数 在区间 上连续，当 时， ，并且 包含于 时，如果 在 上可导，那么函数 在 上可导，且 ．特别地当 时，可得 在 上也可导，且                                                                                                                                                                                                                             

 ，（ ）．

证明　任意 ，因为 在区间 上连续，并且 在 上可导， 根据积分中值定理，有

 ，

    又因为 介于 和 之间， 介于 和 之间，所以当 时， ， ，则有 ，

所以函数 在 上可导，且 得证．

性质4（奇偶性）　假设 ，函数 在 上可积，

（1）当 为 上的偶函数时，函数 也为 上的偶函数．

（2）当 为 上的奇函数时，且 为偶函数（奇函数）时，函数 为 上的奇函数（偶函数）．

特别地对于 ，可得当 为奇函数时,  为偶函数；当 为偶函数时,  为奇函数．

证明　（1）任取 ，如果 为偶函数时，即 ，有

  ．

所以函数  也为 上的偶函数．

（2）当 为奇函数时，即 ，且当 为偶函数时，即 ，

有 ，令 ，则

恒成立，即函数 为 上的奇函数.

当 为奇函数时，即 ，且当 为奇函数时，即