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一类广义Dyck路中若干统计量的计数(2)

时间:2021-05-02 08:41来源:毕业论文
我们记 中所有恰含 个 步, 个低参数和 个高参数的PDP的总数为 .注意,在本文中, ( , )为根据 步的数目以及被考查的参数(低参数,高参数)的数目

我们记 中所有恰含 个 步, 个低参数和 个高参数的PDP的总数为 .注意,在本文中, ( , )为根据 步的数目以及被考查的参数(低参数,高参数)的数目给出的PDP的生成函数.

我们记 为所有 Dyck路中参数 的值之和,则我们有

在本文中,我们假设 中所有PDP的出现是等可能的,则参数 的期望为 .

下面我们给出有关Dyck路的一些定义以及定理证明中需要用到的引理.文献综述

定义1  Dyck路的非空子路称为一个串,子路所经过的步数称为串的长度.

例如,长为 的串有 .其中 称为峰, 称为谷.长为 的串有 .众所周知 ,半长为 且恰含 个谷的经典Dyck路的个数为Narayana数 .

定义2  如果一个串与直线 接触,则称其为低串,否则称其为高串.

引理1 (Lagrange反演定理)  设 是关于 的多项式,生成函数 满足函数方程

则此函数方程有唯一解 ,且

引理2   对于 ,

证  显然生成函数 满足Lagrange反演定理的条件,因此

引理3   当 为非负整数时, 

证  对 使用数学归纳法.当 时,由广义牛顿二项式定理,我们有

当 时,由上述论证,我们有

假设命题对 均成立,则对于 ,由 的函数方程有

由归纳原理知,结论得证.

2 根据各种参数进行PDP计数

在本节中,我们主要研究有关长为 的串的统计数据.我们将先给出含有不同参数的PDP生成函数方程,然后应用拉格朗日反演定理给出其计数公式,最后我们将给出PDP中各参数值的数目及其期望估计.

2.1   的数目

由第一返回分解,每个非空经典Dyck路可唯一分解为

 , 或者 .来~自^751论+文.网www.751com.cn/

从而,根据 步的数目(用 表示)以及 的数目(用 表示),我们可知经典Dyck路的生成函数 满足以下函数方程:

     (2.1)

进而,我们有如下定理:

定理2.1  (1)对于 ,我们记 ,则

 .

(2)对于 ,

且有

(3) 中串 的数目的期望值为

证  (1)由Lagrange反演定理,

从而

即有

 .

(2)由最后返回分解,任意 可唯一分解为

 或者 .

因此,当 时

类似地,我们可以得到当 时

当 时

整理即得

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