，

对收敛的Riemann可积函数 能成立，需要对 加上一致收敛的条件，但是这一条件很很麻烦而又不简洁.

（3）Riemann可积函数空间的不完备性.假如有一Riemann可积函数，其空间中的区间 上，有任意两个Riemann可积函数 与 ，将两个积分定义距离为：

它构成一距离空间 ，但这个距离空间不完备.文献综述

（4） Riemann积分中化两重积分为累次积分时,条件要求很多.在Riemann积分中, 除了二重积分要存在外, 还要求对于 , 积分 存在, 才能得到公式

 .

（5） Riemann积分运算不完全是微分运算的逆运算[2].我们知道，任一Riemann可积函数 的变动上限积分

在 的所有连续点上都有 ，也就是积分后再微分可以还原.但另一方面有例子说明，一个可微函数 的导函数 即使有界也不一定Riemann可积，因此也就无法成立Newton-Leibniz公式

 ，

所以在Riemann积分范围内，积分运算只是部分地成为微分运算的逆运算.

2.3 Lebesgue积分的确立来~自^751论+文.网www.751com.cn/

随着时间的推移，大家都发现了Riemann积分是有一定的缺陷的, 特别像Dirichlet函数，看似简单，却不是一个Riemann可积函数.就在这个时候，勒贝格成功地引入了一种新的积分，并取名为Lebesgue积分, 同时产生的，还有实变函数论这一新的分支，Lebesgue积分的出现，很完美的改进了Riemann积分中的一些不足，使得整个积分理论更加系统.勒贝格理论主要有：点集的测度、可测函数、Lebesgue积分的概念等等.1872 年，集合论出现，康托明确了点集的概念，还为可积性关系与间断点的研究提供了方法：间断点可以作为一个整体.勒贝格在此基础上，建立了一系列新的概念，例如外测度 、内测度 等，当 时，称 为可测集.测度概念的建立，瞬时间将Riemann可积这一类函数变得简单化了.勒贝格又定义在可测集上的函数为可测函数,即 是一有界可测集,  是定义在 上的实函数, 如果对任一实数 ,点集 恒为Lebesgue可测集,则 为 上的可测函数.勒贝格大胆地采用分割值域的方法，创建了Lebesgue积分这一新的积分类型, 解决了因为Riemann积分局限性而产生的一些难题.