（1.7）

假设某一投资者持有 股这种股票，记无风险利率为r。根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即

                                                （1.8）

解上式得到：

                                                      （1.9）

可见，上式（1.9）中的 意味着两个节点之间的期权价格增量与股价增量的比率。该组合的现值为：

                                                    （1.10）

又组合的当前价值为 ，所以根据无套利条件有

从而

                                              （1.11）

如果令

                                                       （1.12） 

则式（1.11）可以写成

                                              （1.13）

式（1.13）就是二项式期权定价公式。

需要指出的是，由于我们是在无套利假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率r应该满足： ，也就是满足 。 

特别指明：式（1.12）中定义的概率为风险中立概率，记为 ，由此概率可以得出市场是无套利的。文献综述

1.5 文章结构

本文基于无套利与资产定价的某些等价关系，从Harnack不等式、Black-Scholes定价公式、CAPM定价公式等视角，较深入地考察市场无套利的基本特征。这既是对Black-Scholes模型的一个很好的解释，也是刻画金融市场无套利特性的有效途径。

文章的结构分为如下四个章节。

第一章节是绪论部分，主要介绍了无套利的定义、基本发展历史、未来的发展方向等。在此基础之上简单介绍了经典的二项式。最后总结了本文的一些创新点。

第二章节给出了一些预备知识，包括几何Brown运动、Ito公式以及Kolmogorov方程等。这些预备知识是后面研究必须要用到的。

第三章节是文章的核心部分，分为三个部分。

首先结合无套利的特性，讨论了无套利的几个等价条件。在此分析的基础之上，将无套利的思想与产品定价结合起来，即：要想明确地给出一个产品的定价，那么市场满足无套利条件是非常重要的。如果所考虑的市场上存在套利机会，那么投资者就会抓住此机会进行投机，从而使得供求关系发生变化，价格也会随之变动。

其次介绍了Black-Scholes模型，根据此模型给出的期权定价公式，讨论了无套利原理与B-S公式联系。从定性分析的角度说明B-S公式给出的定价是满足无套利条件的。

最后讨论了偏微分方程中的Harnack不等式，然后将Harnack不等式应用在B-S模型中，用Harnack不等式证明了B-S模型中所考虑的市场是满足无套利条件的，更重要的是此部分中明确地得出了Harnack常数的表达形式。 摩擦市场渐近无套利分析及应用研究(3):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_75392.html