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散度定理的定义及散度定理的应用(2)

时间:2021-05-23 16:01来源:毕业论文
和,如果你细分到最小电荷话,可以说成正比于正蒲公英减去负蒲公英数这就是静电场的高斯定理。然而这只是个比喻,真正的高斯定理的应用早已经超出

和,如果你细分到最小电荷话,可以说成正比于正蒲公英减去负蒲公英数——这就是静电场的高斯定理。然而这只是个比喻,真正的高斯定理的应用早已经超出了它的定义,下面让我们走进它的世界,领悟它的魅力。

                   第二章,静电场的高斯定理

2.1,静电场的高斯定理的定义

若函数P(x,y),Q(x,y)在闭区域D上连续,且有连续的一阶偏导数,则有:  这里L为区域D的边界曲线,并取正方向

上式称为格林公式,它建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系,沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间也有类似的关系,这就是数学定义上的高斯(Gauss)公式。但是静电场里的高斯定理却与之不同。

定理一:设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成,若函数P,Q,R在V上连续,且有一阶连续偏导数,则

                 (1)

其中S取外侧。(1)式称为高斯公式,也就是数学上关于高斯公式的定义。

下面我们来谈谈高斯定理的有关定义,在引入定义之前,我们先考察一个孤立的点电荷的简单情况。假设q为真空中的正点电荷,以q为球心,任意长r为半径作一球面s包围这点电荷。球面上任一点的电场强度E的大小都是 ,方向都沿着矢量r的方向,且处处与球面垂直。由电通量的计算公式: 可以得到这球面S的电通量为:          (2)

可以看出,此结果与球面无关,只与它所包围的电荷有关。对以点电荷q为中心的任意球面来说,通过它们的电通量都是一样的,都等于 。

   场源电荷仍然shi点电荷q,设想另一个任意闭合曲面S’,S’与球面S包围同一个点电荷q,S’与S之间并无其他电荷,由电场线的连续性,可以得出通过闭合曲面S’和S的电场线数目是一样的,都等于 ,与闭合曲面的形状无关,所以下式仍然成立。来~自^751论+文.网www.751com.cn/

 = 

电荷为点电荷q,q在任意闭合曲面S’’的外面,即闭合曲面S’’的电场线条数一定等于另一侧穿出S’’的电场线条数,所以净穿出闭合曲面S’’的电场线总条数为零,亦即是通过S’’的电通量为零。用公式表达就是 =0

场强电荷为 组成的电荷系,其中有k个点电荷(k<=n) 位于闭合曲面S内,另外n-k个点电荷 位于闭合曲面S外。由电场强度叠加原理(即电场中任一点出的总电场强度E等于各个点电荷单独存在时在该点各自产生的电场强度的矢量和)可知,闭合曲面S上任一点的电场强度E为闭合曲面内外的n个点电荷单独存在时在该点激发的电场强度的矢量和,

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