致谢 16

参考文献 17

1 绪论

1.1关于振动

一般而言，振动是指物体围绕其平衡位置所作的往复运动或系统物理量在其平均值附近来回变动的行为.振动在自然界中可以说是极为普遍的现象之一,广泛存在于日常生活及生产实践中.

而在工程技术领域中,振动的应用更是无处不在.强烈的振动可能会对结构物或机件造成较严重的损坏,对于精密仪器或机器加工,振动将影响其灵敏度或精确度,振动要消耗能量因而使机器的效能损耗,以及影响到乘客身体健康的飞机,船舶,车辆等的振动,这些对正常的工作生活造成了负面影响的振动是我们需要设法消除的;而工程技术应用中的高频液压振动打桩机,各类混凝土振动器,振子示波仪,机械工业应用中的振动造型机,振动运输机,脉冲锻压机,以及地震仪等仪器,则是通过利用相关振动原理以达到提高功效或通过记录振动分析解决问题.

不同领域不同环境中的振动现象虽然各自具有不同的特色,但却常常有着类似的力学与数学描述.基于这种共性的基础并通过尝试建立某种统一的理论来解决各种关于振动的问题的学科就是振动力学.

任何具有弹性和惯性的力学系统,都可能会产生振动,而这种力学系统被称为振动系统.振动系统可划分为离散系统和连续系统两大类,离散系统是由彼此分离的有限个质量元件,弹簧和阻尼构成的系统,有有限个自由度,数学描述为常微分方程;连续系统具有连续分布的参量,它是由弦,杆,轴,梁,板,壳等弹性元件组成的系统,有无穷多个自由度,数学描述为偏微分方程.

1.2梁及梁的弯曲振动

振动力学是研究机械振动的运动学和动力学的一门课程。而梁的振动是振动力学中一种较为特殊的振动，指直杆的横向弯曲振动，又称为无限自由度体系的振动，而在力作用下发生了弯曲变形的杆件即称为梁。

梁在工程力学中有极为广泛的应用,如建筑结构中用于支撑的横梁,横跨江河的桥梁,以及铁路轨道结构中的钢轨,枕木等.

本文讨论的两端弹性约束梁只考虑线性情况,所以可有如下假设:(1)材料是均匀连续的,且各向同性;(2)在所有情况下,应力都在弹性范围内,即服从胡克定律;(3)任意一点的变形都是微小的,且满足连续条件.

2模型介绍

2.1梁弯曲振动的力学模型

由材料力学可知,当载荷垂直于细长杆的轴线方向作用时(即在x-y平面),如图1所示,细长杆产生的主要变形为弯曲变形.若使梁在垂直其轴线方向发生振动,这种振动称为梁的横向振动或梁的弯曲振动.

梁在承受横向载荷是,其所产生的变形除主要为弯曲变形外,还存在着剪切变形.当梁的高跨比很大,或在对其高阶振型进行分析时,这个梁可以看作是被若干节点平面等分成若干个比较小的微段。此时,剪切变形的影响是不可忽视的,另外还必须考虑梁的转动惯量.在建立梁的振动力学模型时,可根据其变形情况分为以下三类:

(1)欧拉-伯努利梁（Euler-Bernoulli beam）:此模型只考虑梁的弯曲变形,不计剪切变形及转动惯性的影响.来`自^751论*文-网www.751com.cn

(2)瑞利梁（Rayleigh beam）:该模型除考虑梁的弯曲变形外,还考虑转动惯性的影响,但不计剪切变形的影响.

(3)铁木辛柯梁（Timoshenko beam）:该模型既考虑梁的弯曲变形,同时还考虑其剪切变形和转动惯量.

2.2两端弹性约束梁

梁的数学常用约束模型有固定端、滑动支座端、铰支座端(即链杆支座端)以及自由端等。根据梁两端所受不同的约束，梁的力学模型也可能为:一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的简支梁; 一端或两端向外伸出的外伸梁; 一端为固定端约束，另一端自由的悬臂梁等。此类梁的横向弯曲振动为齐次边界条件.而弹性约束即把约束类似看作拉压弹簧或扭转弹簧来进行处理,其横向弯曲振动为非齐次边界条件.两端弹性约束梁即梁的两端都为弹簧支座,弹性固定端或者二者的组合模型.本文讨论的是前面两种情况，对后面一种情况也有所提及. 两端弹性约束梁的特征值问题(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_79280.html