,从而C( ) C(A1＇)= A1＇
因此 ，另一方面，根据定义我们有
   综合两个包含关系可得 ,所以
 .因此T为X的拓扑。
下证唯一性。
假设T＇也是X的一个满足定理要求的拓扑，也就是说，任何一个集合A X在拓扑空间（X,T＇）中的闭包也是C（A）.此时根据定理可见，一个集合在拓扑空间（X,T）中是闭集当且仅当它在拓扑空间（X,T＇）中是闭集。再根据定理可见一个集合在拓扑空间（X,T）中是开当且仅当它在拓扑空间（X,T＇）中是开集，这说明T＇= T。
定义2.（闭集公理）设X是一个拓扑空间。记F为X的一个子集族，满足条件：
  (1)X,  ∈F;
      (2)如果A,B∈F,则A∪B∈F;
   (3)如果 ≠F1⊂F,则 .则X有惟一的一个拓扑T使得F恰为拓扑空间（X,T）中的全体闭集构成的集族。
证明：记T={f＇|f∈F}，首先验证T是X的一个拓扑：
（1）X,  ∈F,所以 ，X ∈T；
（2）对任意的F1＇，F2＇∈T,F1, F2∈F,则F1∪F2∈F，所以F1＇∩F2＇=( F1∪F2) ＇∈T;
（3）对任意的T1 T，记F1={ f| f＇∈T1}⊂F, , ,因此T为X的拓扑且由T的构造知F恰为拓扑空间（X,T）中的全体闭集构成的集族。
下证唯一性。
若T＇也是X的拓扑且使F恰为拓扑空间（X,T）中的全体闭集构成的集族，设U∈T＇，则U＇是拓扑空间（X,T＇）中的闭集，则U＇∈F，所以U∈T,因此T＇ T，同理可证T T＇,即T＇= T。
 定义3. （开集公理）设X是一个集合，T是X的一个子集族，如果T满足以下条件：
（1）X ， ∈T；
（2）若A,B∈T,则A∩B∈T；
（3）若T1 T,则 ∈T；
则称T是X的一个拓扑。如果T是X的一个拓扑，则称偶对（X,T）是一个拓扑空间，T的每一个元素都叫做拓扑空间（X,T）中的一个开集.
定义4. （邻域系公理） 设X是一个集合, 又设对于每一点x∈X指定了X的一个子集族 ,并且它们满足: 关于拓扑空间的定义+文献综述(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_8421.html