式中,(*)表示卷积运算。
由于计算机只能识别离散信号,因此有必要将连续信号数字化。对于 和 ,把它们的模拟采样序列分别记为 和 。则(1)式对应的离散卷积公式为
(3)
对于因果系统,给定序列 和 ,(3)式变为
(4)
式中, 是序列 的长度。
因为卷积形式不够直观,出于方便分析和简化计算过程的考虑,常常把卷积公式表示成向量形式[ ]。把数列 排成列向量,记为 。这样,(2)式就能写为
(5)
其中, 是由h构成的卷积核矩阵,有 列,形式如下
(6)
考虑如下的情况,输入序列 可视为无限长序列,而能够观测到的输出序列 是有限长的。由卷积运算可知,为了计算 的L个样本,需要 的全部M个样本以及 的 个样本。由于长度分别为M和 的数列的常规卷积长度为 ,因此 的L个样本只是 和 卷积的一部分,称为部分卷积2。使用向量矩阵表达式,部分卷积可以写作
(7)
一般情况下,设 的长度为M, 为参与卷积运算的部分序列,其长度 。它们的部分卷积记为 ,其长度为 。用向量矩阵形式表达,可以写为
(8)
式中,x和 分别是 和 的向量表达, 是由 构成的卷积核矩阵, 表示 的反排序列。
2.2 二文离散卷积
假定二文序列 和 定义在如下集合中
上,其中 是二文平面上的整数网格点构成的集合。它们的卷积可以写成如下的二文形式2
(9)
为了进一步简化(9)式,可以将其转化为向量矩阵的形式。分别把二文序列 , 和 的每个行转置,再从第一行起,逐次地排成一个列向量,就得到了列向量形式的 和 。卷积公式(9)可以写成2
(10)
式中
(11)
一般地,设 和 的尺寸分别为 和 ,并且满足 ,它们的部分卷积如下
(12)
其中, 是 构成的卷积核矩阵。 基于盲反卷积的显微图像增强技术研究(3):http://www.751com.cn/tongxin/lunwen_10792.html