2  有限元法的基本原理

2.1  引言

有限元方法( )是以变分原理和加权余量法[15]为基础的数值计算方法。有限元方法的基本思想在1940年左右被提出，并且随后被应用于飞机制造业， 在1960年完成了有限元方法的具有里程碑是的研究[16]，从此以后，有限元方法就凭借其自身的优势在各个方面的工程的结构分析之中得到了广泛的运用。有限元方法被运用到了电磁学的相关领域之中是在1970年左右，当时主要是运用在封闭电磁系统的分析中，但是，归结起来，当时的有限元方法主要是在已知的边界条件情况之下，对电磁边值问题进行相关分析。随后，伽辽金加权余量法的提出使得有限元方法可以对复杂边界条件和复杂媒质问题进行有效的分析，自此，有限元方法在不同领域中的运用得到了很大的推广。随着有限元方法研究的不断深入和完善，由有限元方法延伸出来的数值仿真的方法也不断涌现，以有限元方法为基础的算法也能不断解决许多的电磁问题，如三维场建模求解、开边界问题、散射问题的求解、自适应网格划分、高磁性材料及具有磁滞饱和非线性特性介质的处理等，使有限元技术得到了很大的发展，并已经广泛的应用于各种工程问题的仿真，为解决工程与科学问题提供了一种通用方法[2]。论文网

在计算电磁学领域，有限元方法的发展经历了从基于节点的有限元法到基于棱边的矢量有限元法再到高阶矢量有限元法等一系列的发展[9]。节点有限元法在求解静电问题的时候有很好的适用性，但是在求解高频电磁问题的矢量电场或磁场时，并不能保证每个单元的相邻表面之间场的连续性，而且对于场的旋度为零的空间并不能有效的表达，从而出现了伪解的情况，这样就使得仿真结果并不具有很高的可靠性。因此，在基于节点有限元法的基础上发展了矢量有限元方法[17]。矢量有限元方法一般用于求解基于电场或基于磁场的矢量 方程。根据所求解问题控制方程的不同所采用的基函数也不相同。当用于模拟基于电场的矢量 方程时，根据电场的物理特性，矢量有限元法采用切向矢量基函数来展开电场，保证了各单元相邻表面之间电场的切向连续性，而对场的法向连续性不作要求。对于大多数的电磁场边值问题，一般采用基于电场的矢量 方程进行分析求解。总之，无论是节点有限元还是矢量有限元，采用高阶基函数建模以提高仿真精度的方法是目前发展的重要方向[2]。文献综述

2.2  有限元法的基本原理

2.2.1  电磁场的边值问题

用有限元法分析来电磁场问题时，首先要研究的是电磁场中的边值问题。边值问题一般出现在一些物理系统的数学模型之中，而快速而有效的求解边值问题一直是现在数值模拟方法所研究的主题。通常典型的边值问题可以用区域 内的控制微分方程以及包围区域 的边界 上的边界条件来定义。所以大多数的电磁问题，都可以用下面的控制方程表示   (2.2.1)

上式中 表示微分或积分算子， 是已知的激励函数， 即所求的未知场函数（可以是电场、磁场或是电势、磁势）。对于一般的问题，主要的边界条件有 边界条件、 边界条件、和混合边界条件等等。