2.3.5 圆周卷积定理

下面分别介绍圆周卷积的定义和定理。

① 圆周卷积定义：

    设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点圆周卷积定义为：

                                   (2.17)

其中L是圆周卷积区间长度，L≥N且L≥M。

② 圆周卷积定理：源.自/751·论\文'网·www.751com.cn/

序列 和 是有限长的，且 的长度为N1、 的长度为N2， 。x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为：

                                             (2.18)

如果

                                             (2.19)

则

                         (2.20)

         (2.21)

式(2.20)、(2.21)称为 和 的圆周卷积。

3 DFT的应用

3.1 用DFT计算线性卷积

用DFT计算圆周卷积很简单。设h(n)和x(n)的长度分别为N和M，其L点圆周卷积为：

                                  (3.1)

且：

               (3.2)

则由DFT的时域圆周卷积定理有：

                   (3.3)  

根据上面的介绍可以知道，在时域就可以直接计算圆周卷积，当L很大时，可以用快速傅里叶变换简化频域圆周卷积的计算，所以圆周卷积的计算一般都可以利用DFT。

    实际应用绝大多数是求解线性卷积，如信号 x（n）通过系统  h（n），其输出就是线性卷积 y（n）=x（n）*h（n）。当点数很多时候，直接计算的计算量很大，而圆周卷积可以采用快速傅里叶变换，减少计算量。下面讨论在什么情况下可以利用圆周卷积求线性卷积，即它的适用条件是什么。

    设h(n)是N点的有限长序列，x(n)是M点的有限长序列