有限元边界积分方法分析天线电磁特性(5)

    顺便指出，除了选择展开函数作为加权外，也能选择其它函数作为加权。这样可得到不同的公式。
2.2   电磁学的变分原理
   变分方法是通常用于建立有限元解公式的两种方法之一。变分方法具有几个优点，又要优点在于它有牢固的数理基础，其公式也有明确的物理解释。另一个优点在于：通过变分过程，我们能够清楚地说明必要边界条件和自然边界条件之间的区别。还有描述方便以及公式优雅等特点。
2.2.1   标准变分原理
   对下式的微分方程定义的边值问题：
                         ￡Φ= ƒ                      （2-17）
如果算符￡是自伴的，即
                ﹤￡Φ, Ψ﹥＝﹤Φ, ￡Ψ﹥           （2-18）
并且￡是正定的，即
                   ﹤￡Φ, Φ﹥＝                (2-19)
那么，通过求下式泛函的极小值
           ﹤￡Φ, Φ﹥       （2-20）
即可求出（2-17）式的解。
以上面的几个式子中，Ψ表示与Φ满足相同边界条件的任意函数。尖括号表示如下定义的内积
                                    （2-21）
式中，Ω表示问题的区域，它可以是一文，二文和三文的；星号表示复共轭。为了证明这个变分原理，我们首先需要证明：微分方程（2-17）式是当泛函F驻定时（即当δF=0时）的必然结果。然后需要证明驻点是泛函F的极小值点，这等价于证明。
首先考虑第一条的证明。取（2-20）式的第一变分得到
﹤￡δΦ,Φ﹥﹢ ﹤￡Φ,δΦ﹥    （2-22）
既然￡是自伴的，那么，上式右边第一项可写成
              ﹤￡δΦ,Φ﹥＝ ﹤δΦ,￡Φ﹥          （2-23）
因此，
        ﹤δΦ, ￡Φ－ƒ﹥﹢ ﹤￡Φ－ƒ, δΦ﹥   (2-24)
由内积的定义得到
﹤￡Φ－ƒ，δΦ﹥﹢ ﹤δΦ，￡Φ－ƒ =Re﹤δΦ,￡Φ－ƒ﹥ （2-25）
式中，Re（x）表示取（x）得实部，强加驻点条件，得到
                   Re﹤δΦ, ￡Φ－ƒ﹥=0                 （2-26）
因为δΦ是任意变分，所以，我们可以立即从上式得出Φ必须满足（2-17）式的结论。因此，第一点得到了证明。
然后考虑第二条的证明。再取的第一变分，得到
      Re﹤δΦ，￡δΦ﹥ （2-27）
既然￡是正定的，那么对非零的，可以从（2-19）式得到。因此，驻点确实是F的极小值点。
从上面的证明显然可以看出，为了用标准变分原理来建立极小值对应于原边值问题的泛函F，微分算符￡必须是自伴的、正定的，或换句话说，它必须满足（2-18）式和（2-19）式描述的两个条件。更仔细地检查上面的证明，发现虽然第一条性质（自伴）是必要的，但第二条性质（正定）则是不必要的。尽管许多物理问题的解确实对应于泛函的极小值，但是，因为我们的最终目标是求解（2-17）式，所以，其解对应于泛函的极小值、或极大值、或拐点是不重要的。因此，如果这种变分原理存在某种不足，则它必定是由自伴条件引起的。有限元边界积分方法分析天线电磁特性(5):http://www.751com.cn/tongxin/lunwen_7808.html