将上式代入 则可得到等效畸变函数 。在综合考虑上述各方面的影响后，非理想情况下的光纤端面激光辐射场分布可近似表示为
                                      （13）
上式表明，在通过非理想耦合系统之后，高斯光场发生了场振幅分布畸变和等相位分布畸变，并且光场在横向被限制在一个由耦合系统相对孔径所决定的局部区域A内。
 
图6  阶跃型光纤的数学模型和折射率分布
实际的阶跃折射率光纤可以看成是图6所示的无限长圆柱系统，芯区半径为a，折射率为 ；折射率为 的包层延伸到无穷远处， 。在标量近似下，光纤的导波本征模 可以用Bessel函数表示
               （14）
式中， 为第一类贝塞尔函数， 为第二类变态贝塞尔函数， 、 为归一化横向模式系数。上式的具体表达形式比较复杂，有时为了计算方便， 也可以采用高斯形式来近似。当光纤的归一化频率V>0.75时，有
   （15）其中 在知道光纤端面上的激光辐射场 和光纤本征模 的具体形式后，我们即可根据下式计算半导体激光器与光纤的耦合效率
                    (16)
式中， 为耦合系统中第j个光学界面的总反射率。
4.3、耦合方式
一、光纤直接耦合
直接耦合包括光纤直接耦合和光纤微透镜直接耦合两种。光纤直接耦合就是把端面已处理的平头光纤直接对向大功率半导体激光器的发光面。影响耦合效率的主要因素是：光源的发光面积和光纤芯径总面积的匹配以及光源发散角和光纤数值孔径角的匹配 。图7为光纤直接耦合示意图。
 图7  光纤直接耦合示意图
1、锥形微透镜光纤特性
锥形微透镜光纤是最常见的透镜光纤形式。将光纤的前端采用腐蚀或熔融拉伸工艺做成如图8所示的圆锥形，前端的半径a1。，未形变光纤的半径为口an。当光从前端以 入射进光纤，经折射以后，以角扎射向界面。有圆锥时的接收角晓和平端光纤的接收角见之阃有下列关系：
上式说明，有圆锥透镜的光纤的数值孔径比平端光纤增加了 倍，即光纤的接收孔径角比原来增大了 倍，意着光耦合的效率得到了相应的提高。
 图8  圆锥微透镜耦合原理图
锥形微透镜光纤适用于与光束截面为圆形或近似圆形的LD，如VCSEL等的耦合，效果极佳，耦合效率可做到90％以上 。
2、楔形微透镜光纤特性
由于大多数LD的输出光束的光斑是椭圆形的，而且椭圆的长短轴之比值与输出功率成正比，一般该比值为3～5，大功率LD可大于10，最高50以上。为了校正LD的椭圆光束，可采用楔形微透镜光纤。透镜光纤的两个楔形面对应着LD光束发散角较大的方向。楔形透镜光纤相当于一个圆柱透镜与锥形光纤的组合。将柱透镜与LD的p-n结平行放置，LD的光束穿过柱透镜时，垂直于p-n结方向的光将被压缩，而平行于p-n结方向的光不变，使得整个光斑接近圆形。柱透镜楔形的前端被做成弧面，以便提高耦合效率。
楔形光纤端头为对称结构，它的加工参量有楔形斜面切割角度a和斜面的切割深度d，根据二者的关系，主要有三种切割情况 ：
1)设计楔形光纤端头的目的是希望让发散角大于光纤数值孔径角的光线在楔形斜面反射，压缩它的离轴角度，让它也能够在光纤当中稳定传播。而在图9(a)的情况下，由于楔形端头切割角度过大，大于数值孔径角的光线经端面折射后照不到斜面，陶而楔形斜面不能起到扩大光纤收光角的作用。 基于ZEMAX研究微球透镜的耦合效率(4):http://www.751com.cn/wuli/lunwen_4853.html