3．对称性原理在电磁学中的应用

3.1利用对称性原理分析电场问题

在静电场中，电荷分布决定静电场与电势的分布，因此，在这里电荷的分布是原因，电场与电势的分布是结果。由对称性原理可知，电荷分布具有什么样的对称性，电场的分布就同样具有什么样的对称性。

3.1．1利用对称性原理分析球对称问题

首先我们以具有球对称性的均匀带正电的球体产生的场强分布来分析讨论球对称性电场。设球体半径为r，球的总带电量为q。为了与以前我们用的研究电场的一般方法作比较，这里分别给出过去的一般做法和对称性原理分析方法。

过去的一般做法是利用库仑定律和叠加原理来分析其对称性的：在这个情形里，我们可以把带点球体分割成一层层的同心带电球壳，

而每一个带电球面产生的场分析如下：源'自:751-'论.文'网"]www.751com.cn

为了确定E的方向,见图3，考虑空间任

一点P，对于带电球壳上的任何一个面元 ，

在球面上的都存在另一个面元 ，二者对

OP连线完全对称（O是球心）， 与 在P点

产生的 和 也对OP的连线对称，从而它们的矢量和 +  必定沿OP连线。整个带电球壳分成一对对的对称面元，所以在P点的总场强E也一定沿OP连线的方向，此球面上的场强的大小处处和P点的场强E相同，因此我们可以利用高斯定理来求场分布。

下面我们利用对称性原理分析场强E分布的对称性：取球坐标（ ）如图4所示，在距球心r处取一场点 P，一般来说，该点场强E(P)应该有 三个分量。现在利用对称性的原理来分析这些分量：

（1）球壳围绕一直径都是旋转不变的，从而场强的分布也不应该变。然而在旋转时 和 分量却要变，只有它们都等于0才不违反对称性原理。

（2）剩下唯一可能不等于0的分量只有 。由于球壳具有围绕球心做任意旋转的对称性，所有离心等远的的各点上 分量的大小彼此相等[4]。

综合上面的分析，我们的结论是：在任何一个与球壳同心的球面上场强的大小E都相等，方向与此曲面垂直。现在让我们利用高斯定理来求这场强的大小。为此我们取通过场点P的同心球面为高斯面，通过此高斯面的电通量

                                   为了讨论起来方便，我们假定球体带正电，则场强与高斯面垂直向外，该式中的 ， ，电通量 等于E乘以球面面积