经典粗糙集理论基于不可分辨关系。而所谓的不可分辨关系其实就是一种等价关系，并且这种等价关系是唯一的。IND（P）的所有等价类族，即由P决定的U的划分，用U/P来表示。IND(P)等价类又称为P的基本集。而包含元素x的等价类则表示为INDP(x)
定义2.8[12] 给定近似空间K=（U,R），子集X⊆U称为U上的一个概念，约定Ø也是一个概念，概念的簇集称为U上的知识；U上的知识簇集构成关于U的知识库。
定义2.9[13] 给定近似空间K=（U,R），非空子集P⊆R所产生的不可分辨关系IND（P）的所有等价类关系的集合即U/ IND（P），称为基本知识，相应的等价类称为基本概念；特别地，若关系Q∈R，则关系Q据称为初等知识，相应的等价类就称为初等概念。
2.4粗糙集的定义
2.4.1集合的上、下近似集
令X⊆U，R是U上的一个等价关系。当X能表达成某些R基本范畴的并时，称X是R可定义的;否则，称X是R不可定义的。对于R不可定义集，我们使用一对精确概念（即上近似和下近似）表示，上、下近似的差就是X的边界域。下面我们对粗糙集的上近似集和下近似集进行定义[11]：
给定知识库K=(U，R)，对于每个X⊆U和U上的一个等价关系R，定义两个子集:
（1）R*(X)=∪{Y∈U/R：Y⊆X }
（2）R*(X)=∪{Y∈U/R：Y∩X≠ø }
分别称它们为X的R下近似集和R上近似集。即下近似集被解释为所有那些被包含在X里面的等价类的并集；上近似集被解释为所有那些与X有交的等价类的并集。并且从上式可知，X的下近似集中的元素一定属于集合X，但上近似集的元素不一定属于集合X。
上近似集和下近似集之间的差被称作X的R边界域，表示为：BNR= R*(X)- R*(X)。
以上说明如果我们通过已掌握的信息看这个集合X，只能观察到X的下和上近似，而不能观察X的全貌时，那么若BNR＝ø，则集合X是关于R的精确集合，即X可表示为一定数量的R的基本集的并集，X是可定义的；相反，若BNR≠ø，则集合X是关于R的模糊集合，即X要利用R*(X)、R*(X)来近似表示，X是不可定义的。
X的R正区域被记成POSR（X）= R*(X)，即完全属于X的元素的集合。
X的R负区域被记成NEGR（X）=U- R*(X),属于X的补集∼X的元素的集合。粗糙集概念示意图如图2.1[14]。
 
图2.1粗糙集概念示意图
2.4.2新型的隶属关系
粗糙集理论与传统的集合理论有相似之处，但是它们的出发点完全不同。传统集合论认为，一个集合完全是由其元素所决定，一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，即它的隶属函数μx∈{0,1}。模糊集合对此作了拓广，它给成员赋予一个隶属度，即μx∈[0,1]，使得模糊集合能够处理一定的模糊和不确定数据，但是其模糊隶属度的确定往往具有人为因素，这给其应用带来了一定的不便。在粗糙集中，隶属关系不再是一个原始概念，因此无须人为给元素指定一个隶属度，从而避免了主观因素的影响。而且认为不确定与隶属关系有关，模糊性则表现在集合本身。为描述不确定性，定义隶属关系如下：
定义2.10 设X⊆U，且x∈U，集合X的粗糙隶属函数定义为[12]：
          μX  =card（X∩[x]R） /  card([x]R)
其中R是不分明关系，card表示集合的基数。根据上面的定义，可以得到以下的性质：
（1）μX  =1，当且仅当[x]R⊆X，
（2）μX  >0，当且仅当[x]R∩X≠ø,
（3）μX  <1，当且仅当[x]R∩X=ø.
显然，μX∈[0,1]。我们可以看到，这里的隶属关系是根据已有的分类知识客观计算出来的，可以解释为一种条件概率，能够从全域上的个体加以计算，而不是主观给定的。 基于粗糙集理论的多源信息决策知识约简研究(5):http://www.751com.cn/guanli/lunwen_7823.html