（5）归一化法
（6）功效系数法4  无量纲化下的属性权重敏感性和保序性
第三章的分析结果表明，利用不同的无量纲处理方式，属性的客观权重不同，从而导致方案综合评价值不同。这就加大了选择合适的无量纲处理方法的难度，所以在多属性决策中非常有必要来分析无量纲化对最终综合评价权重的敏感性和方案保序性的影响。所以通过对各种无量纲化方法下得到的权重和综合评价值的计算分析，本文可以得出以下的一些结论：
4．1  保序性分析
定理1：当 时，无论是文持原有方案不变，或增加或者减少方案数目，功效系数法与极差变换法得到的方案排序相同。
因为由于 为常数，只要 ，功效系数法得到的权重中 可以约简，故极差变化法与功效系数法得到的权重相同，对排序结果不敏感。
证明：假设指标为效益型，极差变换法对 的方案综合评价值 分别为：
 
功效系数法对 的方案综合评价值 简化处理后的结果分别为：
 
当 时，如果 ，也有 ，反之依然。如果指标为成本型，同理依然成立。所以在引入新方案或者删减现有方案对 值产生改变的情况下，上述关系仍然成立。
定理2：尽管标准化处理法的方差为1，但如果增加或者减少一些方案，采用标准化处理法，任然可能违反保序性。
因为标准化处理法可能造成 拉大或者减小差异，但是获得的属性权重均为 。由于方差越大权重越大，相等权重实际上是提高了某些属性的权重值，降低了其他属性的权重值，相对于其他无量纲化方法而言，是敏感的。
证明：采用标准化处理法对 的方案综合评价值 分别为：
 
假设增加 个方案（如果减少 个方案， 为负数即可），属性值 ，权重不变，仍为 。假定改变方案后的样本均值为 ，改变方案后的样本方差为 ，有：
 
 和 的差异与原始方案的个数、原始属性值数据、新增加的属性值数据、新加入方案的个数密切相关。
对 ， 和 大小、 与 大小均无法确定。如果 ，有： ，即： 。表明影响两个方案顺序的关键是方差，均值的变化尽管对分子没影响，但是对分母方差产生影响。
如果 全部大于0，则方差对排序没有任何影响。由于分母全部大于0，但分子部分大于0，部分小于0，而且对不同的 ，可能部分增加，部分减小，只有当各个属性下 ，才能实现保序，否则就会造成逆序。
4．2  敏感性分析
定理3：线性比例法、向量规范法和归一化法得到的方差与权重并不一定同向。
因为尽管可以获知线性比例法、向量规范法和归一化法得到的属性值方差大小，但是很难对权重进行排序，即权重是敏感的。
证明：由于线性比例法和归一化法仅仅对 有效，而向量规范法尽管不要求 的值，但他们的方差都是为正。
由于 ，所以三种无量纲化方法得到的属性值方差大小的排序分别是线性比例法、向量规范法和归一化法，即： 。于是， ，在分子分母同时增加的情况下，权重并不一定增加，可能减小。
依据三种方法求属性值的方差，可知属性权重受到属性值和方差的影响。对 ，将 按照与零的大小划分成两个区间，分别比较归一化之后的属性值。对大于零区间，有 ，对小于零的区间，有 。
按照上述三种方法求解权重，如果均增加或者减少方案，对 大于零的权重均增加，而 小于零的权重均减小，则将满足保序性，这种假设要求条件较强。在属性值数据变化中，可能导致权重的变化无规律性，因此大多情况下，增加或者减少方案下采取三种方法进行无量纲化都难以保证保序性。就三种方法而言，由于得到的权重不同，得到的排序也有差异。 无量纲化对综合评价的敏感性和保序性研究(6):http://www.751com.cn/guanli/lunwen_7831.html