进入14世纪，Mādhava of Sañgamāgrama 最早使用了泰勒级数以及相关的方法[3].虽然没有保留他的工作记录，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括正弦，余弦，正切，和反正切三角函数等等。之后，喀拉拉邦的天文与数学学校在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，一直持续到16世纪。源.自/751·论\文'网·www.751com.cn/

到了17世纪，詹姆斯格雷戈 （James Gregory）同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。到了1715年，布鲁克泰勒 （Brook Taylor）[4] 提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。 麦克劳林级数是以爱丁堡大学科林•麦克劳林教授来命名的。他在18世纪发表了泰勒级数的特例。

2.2 泰勒级数

2.2.1一元函数泰勒级数的定义

定义2.2.1.1：若函数在某点(x0)的邻域内具有直到n+1阶的导数，则在该邻域内的n阶泰勒公式为：

。

将上式中的余项 抹去，那么在x0附近 可用上式右边的多项式来代替，如果函数 在 处存在任意阶导数，这时称形为：

的级数为函数 在 处的泰勒级数。

在泰勒级数中，取x0 =0时，得： 

 。

这个级数称为麦克劳林级数，函数的麦克劳林级数是x的幂级数，这种展开式是唯一的，且必然与泰勒级数是一致的。

注意：如果在处x0有各阶导数，此时的泰勒级数虽然存在，但这个级数能否在某个区间内收敛，以及是否收敛于函数本身需进一步验证。