这就是利用该方法来求解内弹道的一般步骤。其中, 是积分步长,在本程序中用户可以根据条件不同自行选定,若时间步长取得不合适可能导致计算错误,因此需要合理选择时间步长,以达到最优的计算效果。
一般来讲,随着步长 逐渐减小,计算的结果会更加准确。但如果选择的 过小时,计算步骤急剧增加,计算误差会累积增加,有可能会造成计算结果偏差较大,我们应当根据发动机的相关参数合理选择 ,以满足固体火箭发动机内弹道的计算精度要求。该方法根据步长选择的不同,可以有定步长与变步长两种形式。变步长龙格-库塔法的计算精度更高,但求解也相对复杂。本文采用定步长龙格-库塔法来计算固体火箭发动机的内弹道,并且可以满足工程上的使用要求,简化计算步骤。
2.3 固体推进剂装药的相关几何参数计算
由式(17)我们可以知道,内弹道的微分方程 求解过程中,还应当计算推进即装药的相关几何参数,如 、 和 。并且在后续的侵蚀效应计算时,也需要用到这些参数来求解侵蚀效应。由于内弹道微分方程 是以时间的变化率给出来的,因此我们需要知道任意时刻推进剂几何参数的值,即 , 和 。由几何燃烧定律,我们可以得到固体推进剂的几何参数随时间的变化规律。
在推导推进剂装药的变化规律时,通常是根据几何燃烧定律,可以得到烧去任意肉厚 时的燃面形状。在得到了燃面的形状后,我们可以根据纯几何关系得到此时装药的几何参数,即 , 和 。此时装药的几何参数形式,显然是与内弹道微分方程的形式是不符合的。无法将其直接代入式(11)求解内弹道。为此,我们需要寻求发动机工作的时间t与推进剂烧去肉厚e之间的某种关系,即 ,将 代入 , 和 ,即可得到求解内弹道微分方程所需要的形式。下面,我们将说明如何求解 。
考虑到推进剂的燃速公式有
在知道该时刻的压强值,利用上式即可求得推进剂的燃速。当时间步长较小时,可以认为该段时间内的燃速没有发生变化。即在该计算步长内,烧去的肉厚可以用下式计算
将指数燃速公式代入上式可得
要知道发动机工作的任意时刻烧去的肉厚,只需知道在该时刻包含的每个时间步长烧去的肉厚,然后相加就可得到该时刻烧去的总肉厚,即
利用上式即可算的任意时刻,推进剂烧去的肉厚,然后再将其代入内弹道微分方程,即可求解。
下面介绍工程中几种常见的推进剂装药药型几何参数的推导。
2.3.1 圆孔装药的几何参数
在推导装药的几何参数的变化规律时,我们需要对燃烧模型进行一定的简化。我们认为推进剂燃烧的任意一点上,燃烧速度都是相同的。不考虑推进剂制造缺陷,以及火焰传播等过程,即燃烧是等截面的。在整个燃烧过程中,推进剂的燃烧满足几何燃烧规律[6]。因此,得到的装药几何参数的变化规律是理论上的,不考虑其他因素的影响。
1. 内孔燃烧
对于装药肉厚 有
(21) 固体火箭发动机两相内弹道软件编制与计算分析(6):http://www.751com.cn/jixie/lunwen_22138.html