图3.2 位置式PID控制阶跃响应
从图中可以看出位置式PID控制阶跃响应没有超调，调整时间短，没有产生振荡，离散控制过程与连续控制过程很接近。
式(3-4)和式(3-5)表示的控制算法是由式(3-2)所给出的PID控制规律直接定义进行计算的，所以它给出了全部控制量的大小，因此被称为位置式PID控制算法。
这种算法存在的问题是：由于是全量输出，所以每次输出均与过去状态有关，计算时要对 进行累加，工作量很大；此外，因为单片机输出的 对应的是执行机构的实际位置，如果单片机出现故障，输出 会大幅度变化，从而引起执行机构的大幅度变化，有可能因此造成严重的事故，这在实际生产中是绝对不允许的。
增量式PID控制算法可以有效避免这种现象产生。
3.2.2  增量式PID控制及MATLAB仿真
增量式PID指的是数字控制器的输出只是控制量的增加 。可以通过式(3-4)推导增量式PID控制算法。由式(3-4)可以得到控制器在第k-1个采样时刻的输出值为
 
将式(3-4)与式(3-6)相减，并整理，可以得到增量式PID控制算法公式为

式(3-7)还可以改写成下面的形式：
由式(3-7)可以看出，当单片机控制系统采用恒定的采样周期T，一旦确定了A、B、C，只要使用前后3次测量的偏差，就可以由式（3-7）求出控制量的增量。
增量式PID控制算法与位置式PID控制算法相比，计算量小得多，因此在实际中得到广泛应用。
下面利用MATLAB对增量式PID控制进行仿真。取采样周期为0.001s，采样2000次，输入值为10，选定合理的控制参数后进行仿真。增量式PID控制阶跃响应如图3.3所示。
 
图3.3 增量式PID控制阶跃响应
对于位置式PID控制算法可以通过增量式PID控制算法推出递推公式：
 
这就是目前在单片机控制中广泛应用的数字递推PID控制公式。
3.3  数字PID的改进及MATLAB仿真
3.3.1  积分分离PID控制及MATLAB仿真
在数字PID控制器中，引入积分环节的主要目的是为了消除系统的静态误差，提高系统的控制精度。当电机启动、停车或大幅度增减设定值时，短时间内系统输出很大的偏差，这会造成PID运算的积分积累很大，引起的输出控制量也很大，这一控制量很容易超出执行机构的极限控制量，从而引起强烈的积分饱和效应，会引起系统震荡、调节时间延长等不利结果。
积分分离的思路是：当控制量与给定值的偏差较大时，去掉积分，以防止积分饱和效应的产生；当被控制量与给定值比较接近时，重新引入积分，发挥积分的作用，消除系统静态误差，从而保证了控制的精度，又避免了震荡产生。
具体实现过程如下：
（1）根据实际情况，人为确定一个量X>0；
（2）当 时，采用PD控制，去掉积分项；
（3）当 时，采用PID控制；
因此，在积分项中乘以一个系数 ， 取值如下：
 
下面利用位置式PID公式(3-4)来推导积分分离PID控制公式：
根据式（3-12），可以给出积分分离PID控制的程序框图，如图3.4所示。
下面利用MATLAB对积分分离PID控制进行仿真。取采样周期为0.001s，采样50000次，输入值为200，选定合理的控制参数后进行仿真。积分分离PID控制阶跃响应如图3.5所示，普通PID控制阶跃响应如图3.6所示。
由图3.5和图3.6可以明显看出采用积分分离PID控制后，超调量明显减小，调整时间缩短，未出现振荡。可见在大幅度增减设定值时，积分分离PID控制具有优良的控制特性，明显改善控制效果。
 图3.4 积分分离算法程序框图 MATLAB交流伺服系统ARM单片机制软件设计及仿真(6):http://www.751com.cn/jixie/lunwen_2402.html