第二章 二级圆柱减速器优化理论基础

2.1 优化算法原理

“最优化设计”是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术，是根据最优化原理和方法综合各方而的因素，以人机配合方式或“自动探索”方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。其设计原则是最优设计；设计手段是电子计算机及计算程序；设计方法是采用最优化数学方法。

2.2最优化设计的数学模型

选取设计变量、列出目标函数、给定约束条件后便可构造最优化设计的数学模型。任何一个最优化问题均可归结为如下的描述，即：在满足给定的约束条件(决定n维空间En中的可行域 )下，选取适当的设计变量x，使其目标函数f（x）达到最忧值。其数学表达式(数学模型)为

设计变量             =[   … ]T，X∈  En

在满足约束条件         v=1，2，…，p

                       u=1，2，…，m

的条件下，求目标函数f（x）＝ 的最优值。

目标函数的最优值一般可用最小值(或最大值)的形式来体现，因此，最优化设计的数学模型可简化表示为

min       

s.t.(subject to)    v=1，2，…，p

                u=1，2，…，m

建立数学模型是最优化过程中非常重要的一步，数学模型直接影响设计效果。对于复杂的问题，建立数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型。另外，对于复杂的最优化问题,源Z自L751:文,论/文]网[www.751com.cn，可建立不同的数学模型。这样，在求最优解时的易难程度也就不一样。有时，在建立一个数学模型后由于不能求得最优解而必须改变数学模型的型式。由此可见，在最优化设计工作中开展对数学模型的理论研究，十分重要。

2.3约束优化算法 

优化问题按有无约束可分为无约束优化问题和约束优化问题。无约束优化问题指的是对设计变量的取值范围不加任何限制，无约束优化问题的一般形式为：

求n维设计变量        =[   … ]T

使目标函数为             min 

对X没有任何限制。

在实际工程中，大部分问题的变量取值都有一定的限制，也就是属于有约束条件的寻优问题。与无约束问题不同，约束问题目标函数的最小值是满足约束条件下的最小值，即是由约束条件所限定的可行域 内的最小值。如图2-1（a）所示，而不一定是目标函数的自然最小值。另外，只要由约束条件所决定的可行域 是一个凸集，目标函数是凸函数，其约束最优解就是全域最优解。否则，将由于所选择的初始点的不同，而探索到不同的局部最优解上，如图2-1 (b)所示。所以在这种情况下，探索结果经常与初始点的选择有关。为了能得到全域最优解，在探索过程中最好能改变初始点，有时甚至要改换几次。