1795年普雷菲尔（Joseph Fenn，1748-1891）沿着第二种方法，给出了第5 公设最简单的表述:“通过不在直线L上的一给定点P，在P与L的平面上,只有一条直线不与L相交.” “过直线外一点,有且只有一条直线与原直线平行”就来源于此.在慢慢的历史长河中，还有很多著名的数学家对此做了深入的研究，比如克吕格尔.还有数学王子高斯，但是由于高斯担心收到世俗的抨击，并没有将这一发现公诸于世.但是他们对非欧几何的产生起着重要的作用.
直至十九世纪二十年代，罗切巴夫斯基剑走偏锋，开辟了一条全新的道路.在证明第五公设的过程，他提出了一个与欧几里得平行公理互相矛盾的命题,所以用它来代替第五公设，那么，他想到欧氏几何前四个公理，是否可以结合在一起，成为一个新的公里体系，由此，他推出了一系列的推理.也就是，假设在一个系统中的推理是互相矛盾的，那么间接地就对第五公设做了证明.当然，这也就是数学中我们常用的反证法.
然而，在罗切巴夫斯基严谨罗密的一系列推理过程中，他发现了许多想不通，但是在推导过程中却符合的命题，于是在这个基础上，他得出了如下两个极其重要的结论：
第一，不能证明第五公设.
第二，在新的系统中，推出了一系列公理推理给予了一系列的没有逻辑矛盾新的定理，并形成了新的理论。理论是一样的欧几里德几何完美，紧几何形状.
这是人类历史上第一个被提出的非欧几何，称之为罗巴切夫斯基几何，简称为罗氏几何.
此后不久黎曼公开发表了他《关于几何基础的假设》的文章，标志着黎曼几何的诞生对罗氏几何做了很好的补充和完善.
3.欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的关系
根据“5公理的几何学”在《几何原本》中的提出，我们可以看到，这里所指的“欧氏几何”实际上是平面几何.但除了平面几何，我们还有立体几何.通常来说，基本也是空间的点，线，面之间的关系，而与曲面没有关系.我们可以把它们之间的关系表述为：
根据罗氏罗氏几何的定义：几何，外面的线上的一个点，可以做至少两线平行的直线.我们只需要在空间中的平行线定义为：两不相交的直线称为罗氏平行线.你可以得到，外点的直线，可同向平行线任意直线和线.罗氏垂直和斜向不一定相交.垂直于两线在同一直线上，当两端的延伸，可能离散到无穷大.在相同的线三分，不能让一个圈.但你可以做一个平面投影圆曲面上三点.
黎曼：对于黎曼几何的这个假设我们是没有模型的，不在同一平面上，任意两线都有一个共同点（交点），直线可以无限延长，但总长度是有限的.在这个领域可以应用.
另外：两点之间最短的线的表面，称为该直线的曲面上两点，然后曲面上两点之间的线，可以有一个以上的.如果一个表面上的线，在平面上的投影是一条直线，然后在表面的平面线的线，然后在表面任意两点，只能在这个平面做线.表面上的三点，不在一条直线上，有且只能做一个圆的平面.
因此，这三个几何并不是独立存在的，它们虽然是三种不同的几何，但却都是在欧式几何的基础上发展演变出来的.这三个几何在不同的方面有不同的发展方向，构成了我们现代数学的一个严谨的公里体系，满足完备性，独立性与和谐性.因此，欧氏几何，黎曼几何和罗氏几何都是对的.在我们现实的生活中，处处都有欧氏几何，它适用于我们的日常生活；而在原子核或者宇宙空间，更为普遍应用的应当属于罗氏几何.对于黎曼几何，在地球表面的导航技术、航空等实际问题的研究上，它比其它两种几何更为精确.所以，这三种几何是相互依存，在不同的领域发展不同的. 非欧几何的产生与发展+文献综述(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_21153.html