例1  判断 的奇偶性.
解  由于 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
故 是奇函数.
例2  设 是奇函数且不恒等于0，试说明 的奇偶性（ ）.
解  设 ，则            
所以 是奇函数，由于 是奇函数，所以 是偶函数，即 是偶函数.
定义2  若函数 对定义域中任意 均有 （其中T是不等于0的常数），则 是周期函数.
定义3   图像的对称性包括轴对称和中心对称这两种，如果函数 满足 ，那么 的图像就是关于 对称的.如果函数 满足 ，那么 图像就是关于 对称.
函数的奇偶性，周期性和图像的对称性是函数的基础性质，只有对三者进行深入的剖析，全面掌握其深刻内涵，才能更好的研究函数的性态，下面来探讨三者之间的关系.
1 .由函数的对称性和奇偶性能推出函数的周期性
例3  如果 为奇函数，图像关于 对称，证明：那么 是以 为周期的周期函数.
证明  因为 的图像关于 对称且是奇函数，
所以                
所以 是 的周期函数.
2 .由函数的对称性和周期性可以推出函数的对称性和奇偶性
例4  (1)设 的图像关于 对称，且 的周期函数，证明 的图像关于 对称. 关于函数性态的讨论与研究+文献综述(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_29577.html