摘要  本文研究了几类新的组合数和，给出了相应的递推关系.
关键词  组合数；组合数公式；递推关系

一、引言
    二项式定理是组合数学里的一个重要的定理. 一般地，二项式的展开式为：
 ，
其中 称为二项式系数或组合数.41488
关于组合数求和的公式，也就是组合公式，很多组合数学的书里已经讨论了很多，在参考文献[1—3]里已经给出了一系列的组合公式. 然而还有大量的、有趣的组合公式等着我们去发现、去研究. 在上述的二项式展开式中，可以令 ， ，得到 ；同样地，令 ， ，得到 . 文献[4]将其推广得到  .文献[6]在此基础上，并进一步得到如下结论：
定理[6]  设 是正整数，若  ，则有如下递推关系论文网
 .  
推论1[6]  设 是正整数，则有组合恒等式 = 
推论2[6]  设 是正整数，则有组合恒等式 = .
推论3[5]  设 是正整数，则有组合恒等式 = .
    本文是在文献[4]、[5]、[6]的基础上，从新的组合数求和式出发，利用初等的方法及组合公式 ，给出了这些组合数求和式的递推关系式.
二、定理和定理的证明
下面就某些有趣的组合数求和式，我们来讨论研究它们存在的某种递推关系.
在这里，将  进行改变，得到新的组合数求和式，即 .再运用初等方法和组合公式 ，得出新形式下的组合数和的递推关系式. 即
定理1  设 是正整数，若 ，则有如下递推关系
 
证明  由组合数公式 ，得
因此有
 
类似地，对其他几类有趣的组合数和式，我们也找出了其存在的递推关系，如下：
定理2  设 是正整数，若 ，则有如下递推关系式
 .
证明  由组合数公式 ，即 ，得
因此有 
 .
定理3  设 是正整数，若 ，则有如下递推关系式
 .
证明  同上，利用组合数公式 ，得 关于组合和递推关系的进一步探究:http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_41563.html