数列上、下极限是数列极限的进一步研究和探索.因为上、下极限在数学分析中起着很重要的作用特别是在判断正项级数收敛性中更加重要,从而上、下极限在数学分析中是一块难点和重点.马艳秀、潘涤世[3]分析了数列上下极限的定义和给出了新的定义,更加细致的理解了数列的上、下极限.此外,叶常青[4]用数列上、下极限求数列极限,使求解数列极限多了一种新的方法和数列极限定理的证明提供了一条判别定理.范艳杰、-751`文;论"文'网www.751com.cn罗成广《数列上下极限在求解数列极限中的应用》[L]时空教育 3013.05.06.中用数列上、下极限的思想来求解数列极限.数列上、下极限的产生使数列极限的问题更加的深刻,正确认识数列上、下极限,能使我们更好的掌握数列的整体性.

对于数列上、下极限本文的主要内容为:第一部分是介绍了数列上下极限的定义、定理以及运算法则;第二部分是介绍了定义的等价性定义和相关的结论;第三部则是对上、下极限的一些求法进行简单的总结和在一些应用方面的举例说明;第四部分是论文总结.对论文网进行总结使我对在数学分析中所学的数列极限内容的理解更加深刻,精准的透析数列上、下极限的相关知识,更好的拓展我们的创造性思维,并对广大学生有着很重要的指导意义.

1.预备知识                                                                                                                                              

1.1聚点的定义    

定义1  若在数 的任一邻域内含有数列 的无限多个项,则称 为 的一个聚点.

定理1  有界数列（数列） 至少有一个聚点,且存在最大聚点与最小聚点.

1.2数列上、下极限定义

定义2  有界数列（点列） 的最大聚点与最小聚点分别称为 上极限和下极限,记作:

 ,  = .

1.3数列上、下极限的运算法则

设  上、下极限都存在,则: .

  .

1.4数列上、下极限的相关定理

定理2  对任何有界数列 有   .

定理3   =A.的充要条件是  . 

定理4  设 为有界数列.

(1) 为 上极限的充要条件是:任给 ,

(i)存在 ,使得当 时有  ;

(ii)存在子列 ,  ,k=1,2 .

(2) 为 下极限的充要条件是:任给的 ,

（i）存在 ,使得当 时有  ;

（ii）存在子列 ,  ,k=1,2, .

定理4也有另外的一种形式

定理4   设 为有界数列.