Taylor公式：在数学中，研究者发现，当函数y=f（x)在一点x0可微时，我们就有

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这就是说，函数 在 附近可以用一个线性函数 来近似替代，而这种替代的误差就是 的高阶无穷小量。为什么考虑用多项式逼近一个函数呢？是因为多项式的简单，并便于计算。如何能使误差变得更小呢？泰勒公式便可以做到这一点。

2.1. Taylor公式的定义

在数学中，泰勒公式是一个函数在已知某点信息后描述其附近取值的公式。它还给出了多项式与实际函数之间的偏差情况。对于比较复杂的函数，为了方便研究，我们最经常会使用到用多项式函数近似的表达问题中的复杂函数，这种近似表达在数学上称为逼近法。

下面给出Taylor公式的几种形式

对于正整数 ,如果函数 在闭区间 上 阶连续可导，在开区间 上 阶可导，任取 是一定点，则对任意成立下式：

 其中 表示 的 阶导数，则多项式称为函数 在 点处的泰勒展开式，剩余的 是泰勒公式的余项，是 的高阶无穷小。 不同，我们随之而来对其的称谓也不同，事实上它们大多都是等价的。我们下面罗列几种。

1、佩亚诺余项 ，这里要求n阶导数存在即可成立。

2、拉格朗日余项  ， 。

3、柯西余项  ， 。

4、积分余项  。

5、Schlomilch-Roche余项  ， 

在我们的专业学习的过程中，第一种佩亚诺余项和第二种拉格朗日余项会用到的多一些，它们分别针对于不同的题型解法，各有各的特点，各有各的优势。例如，佩亚诺余项一般在求极限中用的多，而拉格朗日余项一般是用在证明题，由于余项是用拉格朗日中值定理求出来的，所以展开到 阶的话，一定是要求函数具有 阶导数的。

若我们说局部的泰勒展开式，那就有这样的，即设函数 在 点附近有定义且 阶导数 存在，这时我们将多项式

 称为函数 在 处的 阶泰勒多项式。函数 的泰勒多项式有以下性质：

 2.2. Taylor公式的推广形式

2.2.1. 麦克劳林展开式

我们在前面描述的泰勒公式是说函数 在一点 处的展开式，麦克劳林展开式其实就是 取0的时候，它是泰勒展开式的特殊形式，函数 在0点的泰勒展开式，若函数 在 处 阶连续可导，则有成立。

以下是几种常见的（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式：

等等，利用最基本的初等函数的展开式，通过做一些加减乘除四则运算，从而可以求解出较为复杂的初等函数的幂级数展开式{在高数的级数求和例经常会遇到这样的题型），如此便能将问题转化为我们熟知的情况。

2.2.2. 泰勒中值定理

若 在包含的某开区间 内具有直到 阶的导数，则当 时，有 

 其中 是 阶泰勒公式的拉格朗日余项，见1.1.1公式形式中的余项2