数论问题在中学数学竞赛中的应用(2)

基础知识

给定一个m位的正整数A，其各位上的数字分别记为，则此数可以简记为：（其中）。

由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的次多项式，即，其中且，像这种10的多项式表示的数常常简记为。为了具备一般性，我们给出正整数A的p进制表示：，其中且。而仍然为十进制数字，简记为。

典例分析

例1．求满足的所有三位数。　　　

解：由于，则，从而；

当时，；

于是所求的三位数只有512。

分析：本题主要是对形如这一类符号的认识。在解题上面通过是一个三位数为突破口，将的范围求出，进而可以带入求证，解答也就显而易见了。

例2．一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。　　　　　　　　　　　　　　　

解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为，则

原数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

颠倒后的新数　　　　　　　　　　　　　　　②

由②－①得7812＝

即　　　③

比较③式两端百位、十位、个位数字得

由于原四位数的千位数字不能为0，所以，从而，又显然百位数字，所以。所以所求的原四位数为1979。

分析：这一类题目在初中数学中经常出现，主要也是对数的表示的运用。根据题目所给的条件设出未知数，然后将未知数表示成这个四位数，需要注意的是，十位的数要乘以十，百位的数乘以百，以此类推。这样就可以得到原数，再由条件得到变化后的数，最后相差7812。在后一步的解方程中，我们可以将作为一个整体，这样就可以容易得到的值，最后根据数位的性质不能为0，得出，这题就完成了。

例3．递增数列1,3，4,9，10,12,13，……是由一些正整数组成，它们或是3的幂，或是若个不同的3的幂之和，求该数列的第100项。　　　　　　　

解：将已知数列写成3的方幂形式：

易发现其项数恰好是自然数列对应形式的二进制表示：

即由于100＝

所以原数列的第100项为。

分析：本题主要是考察了数论中二进制的运用，这题的难点和重点就是能看出自然数列对应形式的二进制和数列项数表示是一样的。这样就需要学生将数列按3的方幂展开，认真仔细地观察这些规律。其次就是对第100项用二进制来表示，这里也可以不需要二进制来表示，可以用2的方幂来表示得出项数即可，再将项数转移到数列中就可以得出本题答案。

例4．若且是其各位数字和的倍数，这样的有多少个？

解：（1）若为个位数字时，显然适合，这种情况共有9种；

　　（2）若为100时，也适合；

　　（3）若为二位数时，不妨设，则，由题意得

即即也就是；

若显然适合，此种情况共有9种；

若，则由，故

若，则显然可以，此时共有2＋8＝10个；

若（）9，则或，这样的数共有24,42,48,84共4个；

综上所述，共有9＋1＋9＋10＋4＝33个。

分析：本题用到了数论中的整除性和进位的内容。在解答题目的时候应先对进行分类讨论，对是几位数字进行讨论，很显然当是个位或者是100的时候条件明显成立，所以就直接针对是十位数进行讨论。那么根据之前所用的进位方法是可以表示成，也就是。然后根据题意就可以列出解答中的过程。需要注意的是这里还需要对进行讨论。由和我们可以得出，而，所以又公共因子，所以。最后根据是否整除9来分类，得到最后的答案。数论问题在中学数学竞赛中的应用(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_48837.html