不等式证明方法的研究

摘要：不等式是研究数学问题的工具，在科学研究中具有很重要的地位，证明不等式对培养学生的创新思维能力也有着极其重要的作用。它在中学和大学数学中都频繁出现，但很多同学无从下手，用什么方法很难抉择。因此，本文分析总结了一些常用的证明方法，比如：微分中值定理、函数的单调性、函数的凹凸性、函数的最值（极值）、泰勒公式、数学归纳、构造图形转化为几何等等其他方法，并搭配了相应的例题。47379

Abstract: Inequality is an important tool for mathematical problem and has the very important status in scientific research. To prove inequality also has a very important role in cultivating students' innovative thinking ability. It frequently appears in middle school and university’s mathematics, but many students do not know how to start and feel difficultly to choice which method. Therefore, this article summarizes some commonly methods of proving inequality, such as, differential mean value theorem, the monotonicity of a function, concavity and convexity, the most value (extremum value), Taylor's formula, the mathematical induction, geometry, and picks out some corresponding examples.

毕业论文关键字：不等式；拉格朗日中值定理；构造函数；泰勒公式；

Keyword: Inequality; Lagrange's mean value theorem; Constructor; Taylor's formula

0 引言 1

1 利用微分中值定理证明不等式 1

1.1 微分中值定理的定义及定理 1

1.2 例题分析 2

2 利用函数的单调性来证明不等式 4

2.1 函数单调性的介绍及使用方法 4

2.2 例题分析 5

3 利用函数图像的凹凸性来证明不等式 6

3.1 函数的凹凸性定义、性质及其运用 6

3.2 例题分析 7

4 利用函数最值（极值）来证明不等式 9

4.1 函数的最值（极值）的运用范围及方法 9

4.2 例题分析 10

5 利用泰勒公式来证明不等式 11

5.1 泰勒定理 11

5.2 例题分析 11

6 利用其他方法证明不等式 13

6.1 利用柯西-施瓦兹不等式进行证明 13

6.2 利用数学归纳法证明不等式 14

6.3 构造复数证明不等式 15

6.4 构造图形转化为几何来证明不等式 16

7总结 16

参考文献 17

致谢 17

0 引言

不等式是用不等号将两个整式连结起来所成的式子。在一个式子中，数的关系，不完全是等号，如果是含不等符号的式子，那么，它就是一个不等式。

不等式是数学分析的基本内容之一，是数学学习及研究中的重要工具之一，其地位是不可替代的。纵观我们的学习过程，不等式在各个时期都是数学教材的重要组成部分，各种考试和竞赛中，也能经常看见它的身影，并且相对难度较大。因为不等式是比较抽象的内容，对逻辑性的要求相对于其他要高，加上它的证明法有多种多样，形式灵活，却没有固定的解题方法，同时，对数学的敏锐度和发散思维也有很高的要求，是以想要很好地驾驭它是存在很大的困难。不等式证明方法的研究:http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_49318.html