在高等数学的学习过程当中，不等式的证明既是一个重点，也是一个难点。通过证明不等式，不仅可以检测对数学知识的掌握程度，同时也可以使衡量数学水平的一个重要标志。然而，大多数学生在遇到不等式证明问题不知道如何下手，对其印象是需要运用复杂的公式和繁琐的计算才能加以解决，但实际上，在遇到许多不等式问题时，只要通过用心地分析、总结和归纳，很多不等式都是有规律可循，有方法可依的。并且一些看似复杂的不等式，都存在简便的方法，一题多解。针对不等式证明的方法，本文研究并总结了几种常见的证明不等式的方法，即利用微分中值定理、函数单调性、函数凹凸性、函数最值与极值、泰勒公式法、数学归纳法、将不等式构造图形转化为几何等等其他方法来证明。

1 利用微分中值定理证明不等式

1.1  微分中值定理的定义及定理

中值定理主要包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，是微分学的基本定理之一，内容：一段连续光滑曲线中必然有一点，其斜率与整段曲线平均斜率相同。微分中值定理，使用最多的是拉格朗日和积分中值定理。利用此定理来证明不等式方法的关键是根据不同不等式的特点构造出相应的辅助函数，然后利用相应的中值定理来证明。本文主要研究利用拉格朗日中值定理来证明不等式。

拉格朗日中值定理：若函数 在区间 满足以下条件：①在 内可导；②在 上连续，则必有一点 ,使得

 柯西中值定理：设函数 , 满足①在 上都连续；②在 内可导；③ , 不同时为零；④ ，则存在 ，使得

 用拉格朗日中值定理证明的一般步骤：

根据要证明的不等式构造适当的函数 及区间 。

验证此函数 是否满足定理条件，再运用定理公式写出表达式。

再根据题目的需要进行适当的放缩。

此定理在高等数学的不等式证明中的作用很大。当不等式中含有  的形式时，一般考虑用拉格朗日中值定理来证明。而柯西定理是拉格朗日中值定理的一个推广，当不等式中有 时，一般就考虑运用柯西定理来证明。柯西定理的运用可以仿照拉格朗日中值定理的运用，本文将不再赘述。

微分中值定理：若函数 在(a,b)内可导，在[a,b]上连续，则

 故当 , 内 时，有  

此原理，在证明不等式时，也经常采用。