(8)倒数法则
2.2 几个重要的不等式
(1)柯西不等式
①二维形式的柯西不等式: 。
当且仅当 时,等号成立。
②三维形式的柯西不等式:
当且仅当 时,等号成立。
③一般形式的柯西不等式:
对任意两组实数 ,有
当且仅当 时,等号成立。
柯西不等式可以说是中学数学中最重要的不等式之一了,在高中数学中占了相当一部分篇幅。有很多方法来证明柯西不等式,可以从构造函数方法、变换和数学归纳法等角度都可以对它进行验证。柯西不等式的应用也非常广泛,很多特殊不等式、重要不等式都可以用柯西不等式加以推导证明,利用柯西不等式可以解决很多问题。根据已知关系式和待证表达式之间的关系,判断是否有利用柯西不等式的式子结构,或者通过适当拆分、配凑和变形等将柯西不等式加以应用,解决问题。
变式:如果将柯西不等式变形,可以得到
,将式子的左边看作是一个函数,右边值确定时,就可知 的最大值和最小值,当且仅当 =…= 时,可以取到最大值和最小值。相反的,若是将柯西不等式右边的一个因式或者两个因式的乘积当作函数,当其他因式已知的时候,就可以求出这个函数的最小值。
(2)均值不等式
①算术几何平均不等式:
;当且仅当 时,等号成立。
②一般形式均值不等式:
若 ,则 ,
其中等号当且仅当 时成立。
推论1:若 , ,则 ,其中等号成立当且仅当 。
推论2: 当且仅当 时,等号成立。
(调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数)
均值不等式是一类比较主要的不等式,被广泛于现代数学,是应用最为广泛的不等式之一,其中最主要的当属算数集合平均不等式,是研究最值问题,比较大小的有力工具。当问题中变量都是或者可以转换为正数,变量之和或之积是常数且各变量有相等的可能的情况下,可以利用均值不等式求解。
3 数学竞赛中的不等式问题
3.1 数学竞赛中的柯西不等式应用
柯西不等式是数学竞赛中的一大考点,应用广泛。有关柯西不等式在数学竞赛中的应用,主要将柯西不等式利用在证明不等式,求极值问题或者与其他知识相结合组成题目。在不等式问题中,通常需要将数学知识有机融合利用,掌握丰富的数学方法与思想。下面将主要通过实例来说明数学竞赛中的柯西不等式的应用,以及如何利用它来解决问题。
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